Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a
1
, a
2
∈ A ρ CoKer ρ ∈ E(B)
CoKer ρ , Ker ρ
]
.
Ker ρ CoKer ρ
a ∈ A Core(a)
CoCore(b) b ∈ B
A Ker ρ
B CoKer ρ
Ker ρ
ρ M(ρ) Ker ρ
A
CoKer ρ B M(ρ)
ρ ∈ R(A)
Ker ρ ρ
A
x(Ker ρ) y = ∀z ( xρz = yρz ) .
' τ
'
M ⊆ ' = '
]
.
τ
A B AτB ⇔ |A − B| < r r
τ
2.4. Ïðîñòðàíñòâà òîëåðàíòíîñòè                                                                 31


äëÿ a1 , a2 ∈ A. Äâîéñòâåííî, êîÿäðî ñîîòâåòñòâèÿ ρ ýòî îòíîøåíèå CoKer ρ ∈ E(B),
îïðåäåëÿåìîå ñîîòíîøåíèåì
                                  CoKer ρ , Ker ρ ] .
   Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè Ker ρ è CoKer ρ íàçûâàþòñÿ ÿäðàìè è êîÿäðàìè ñîîòâåò-
ñòâåííî3 . ßäðî, ñîäåðæàùåå ýëåìåíò a ∈ A áóäåì îáîçíà÷àòü Core(a); ñîîòâåòñòâåííî,
CoCore(b)  êîÿäðî, ñîäåðæàùåå ýëåìåíò b ∈ B .

   Òàêèì îáðàçîì, äâà ýëåìåíòà A íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè Ker ρ, åñëè ñîâïàäàþò èõ
îáðàçû, à äâà ýëåìåíòà B â îòíîøåíèè CoKer ρ,  åñëè ñîâïàäàþò èõ ïðîîáðàçû. ßñíî,
÷òî ââåä¼ííûå îòíîøåíèÿ äåéñòâèòåëüíî ñóòü ýêâèâàëåíòíîñòè  èõ ñâîéñòâà ðåôëåê-
ñèâíîñòè, ñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçèòèâíîñòè î÷åâèäíû. Ïîýòîìó Ker ρ ÷àñòî íàçûâàþò
ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ.
   Åñëè îòíîøåíèå ρ çàäàíî (0,1)-ìàòðèöåé M (ρ), òî ýêâèâàëåíòíûìè ïî Ker ρ îêàçû-
âàþòñÿ ýëåìåíòû A, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îäèíàêîâûå ñòðîêè, à ýêâèâàëåíòíûìè ïî
CoKer ρ  ýëåìåíòû B , êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò îäèíàêîâûå ñòîëáöû M (ρ).
   Ïîíÿòèå ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè è ÿäðà ÷àñòî èñïîëüçóþò äëÿ îäíîðîäíîãî îòíî-
øåíèÿ (÷àñòíûé ñëó÷àé áèíàðíîãî). Òàê, åñëè ρ ∈ R(A), òî äâà ýëåìåíòà íàõîäÿòñÿ â
îòíîøåíèè Ker ρ, åñëè îíè ñâÿçàíû èñõîäíûì îòíîøåíèåì ρ â òî÷íîñòè ñ îäíèìè è òåìè
æå ýëåìåíòàìè A:
                            x(Ker ρ) y = ∀z ( xρz = yρz ) .                   (2.5)
   ßäðîì îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ îíî ñàìî.


2.4 Ïðîñòðàíñòâà òîëåðàíòíîñòè
Îïðåäåëåíèå 2.9. Îäíîðîäíûå ðåôëåêñèâíûå è ñèììåòðè÷íûå îòíîøåíèÿ íàçûâàþò
îòíîøåíèÿìè òîëåðàíòíîñòè.

   Îòíîøåíèå òîëåðàíòíîñòè áóäåì, êàê ïðàâèëî, îáîçíà÷àòü ' èëè τ . Ñîãëàñíî îïðå-
äåëåíèþ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îòíîøåíèÿ òîëåðàíòíîñòè ' ñïðàâåäëèâî

                                          M ⊆ ' = '] .

   Ââåä¼ííîå îòíîøåíèå òîëåðàíòíñòè  ìàòåìàòè÷åñêîå óòî÷íåíèå ïîíÿòèå ñõîäñòâà,
áëèçîñòè, íåðàçëè÷èìîñòè. Íàïðèìåð, ïîíÿòèå áëèçîñòè îáúåêòîâ, èñïîëüçóåìîå â òåî-
ðèè ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ, åñòü îòíîøåíèå òîëåðàíòíîñòè ìåæäó íèìè. Îòíîøåíèÿ òî-
ëåðàíòíîñòè ÷àñòî íàçûâàþò ïðîñòî òîëåðàíòíîñòÿìè4 , à ïàðó ýëåìåíòîâ, ñâÿçàííûõ óêà-
çàííûì îòíîøåíèåì  òîëåðàíòíûìè.
Ïðèìåð 2.6. Îïèñàííûå íèæå îòíîøåíèÿ τ ñóòü òîëåðàíòíîñòè.
  1. A è B  òî÷êè åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà è Aτ B ⇔ |A − B| < r, ãäå r  ïðîèç-
     âîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
  2. Ñëîâà ðóññêîãî ÿçûêà íàõîäÿòñÿ â îòíîøåíèè τ , åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ ðîâíî íà
     îïðåäåë¼ííîå êîëè÷åñòâî áóêâ (íàïðèìåð, íà îäíó).
  3 Èòàê, ÿäðî ñîîòâåòñòâèÿ  ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, à (ïðîñòî) ÿäðà  ñìåæíûå êëàññû ýòîãî
îòíîøåíèÿ.
   4 Îò ëàò. toleratia  òåðïåíèå. Óïîòðåáëåíèå äàííîãî òåðìèíà ïîÿñíÿåòñÿ ñâîéñòâàìè êëàññîâ òîëå-
ðàíòíîñòè îáðàçîâûâàòü íå ðàçáèåíèå, êàê ó ýêâèâàëåíòíîñòè, à ïîêðûòèå èñõîäíîãî ìíîæåñòâà (ñì.
íèæå).
  Ïðèâåä¼ííóþ àêñèîìàòèçàöèþ ïîíÿòèÿ ñõîäñòâà è ðîäñòâåííîãî åìó ïîíÿòèÿ íåðàçëè÷èìîñòè ââ¼ë
àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê Ý. 3èìàíí (ñì., íàïðèìåð, Ý. 3èìàíí, Î. Áüþíåìàí. Òîëåðàíòíûå ïðîñòðàíñòâà
è ìîçã. / Íà ïóòè ê òåîðåòè÷åñêîé áèîëîãèè.  Ì.: Ìèð, 1970).

Страницы