Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

' ∼
' ⊆ ∼ '
t
⊆ ∼
' ⊆ ∼ ¤
◦ α β
α ◦ β , αβ ∪ βα .
∪ ∩
]
¦
α ¦ β = α ◦ β
τ τ ∪ M
α α ∪ α
]
α ∩ α
]
α ◦ α
]
α β
α ◦ β
(α ◦ β)
]
= (αβ ∪ βα)
]
= (αβ)
]
∪ (βα)
]
= β
]
α
]
∪ α
]
β
]
=
= βα ∪ αβ = α ◦ β .
α ◦
¤
∗ α β
α ∗ β , αβ ∩ βα ,
α ∗ β α β
2.4. Ïðîñòðàíñòâà òîëåðàíòíîñòè                                                       33


Ëåììà 2.1. Åñëè '  òîëåðàíòíîñòü, à ∼  ýêâèâàëåíòíîñòü íà íåêîòîðîì ìíî-
æåñòâå òàêèå, ÷òî ' ⊆ ∼, òî 't ⊆ ∼.

Äîêàçàòåëüñòâî ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì îïåðàöèè òðàíçèòèâíîãî çàìûêàíèÿ ê îáåèì
÷àñòÿì âêëþ÷åíèÿ ' ⊆ ∼.                                                      ¤



Ñëåäñòâèå. Òðàíçèòèâíîå çàìûêàíèå îòíîøåíèÿ òîëåðàíòíîñòè åñòü ìèíèìàëüíàÿ
ýêâèâàëåíòíîñòü, âêëþ÷àþùàÿ ýòó òîëåðàíòíîñòè.

   Ââåä¼ì åù¼ îäíó áèíàðíóþ îïåðàöèþ ( ◦ ) íàä îäíîðîäíûìè îòíîøåíèÿìè α è β 
ñèììåòðèçîâàííîå ïðîèçâåäåíèå :

                                  α ◦ β , αβ ∪ βα .

Òåîðåìà 2.12 (Î ñâîéñòâàõ òîëåðàíòíîñòè).
  1. Òîëåðàíòíîñòü ñòàáèëüíà îòíîñèòåëüíî ∪, ∩, ] , à îòíîñèòåëüíî ¦  åñëè è
     òîëüêî åñëè òîëåðàíòíîñòè ïåðåñòàíîâî÷íû (è â ýòîì ñëó÷àå α ¦ β = α ◦ β ).
  2. Ñèììåòðèçîâàííîå ïðîèçâåäåíèå òîëåðàíòíîñòåé âñåãäà òîëåðàíòíîñòü.
  3. Åñëè τ  òîëåðàíòíîñòü, òî è τ ∪ M òîëåðàíòíîñòü.
  4. Åñëè α ðåôëåêñèâíî, òî îòíîøåíèÿ α ∪ α] , α ∩ α] è α ◦ α] ñóòü òîëåðàíòíîñòè.

Äîêàçàòåëüñòâî.

  1. Âñå óòâåðæäåíèÿ ñëåäóþò èç ï. 1) è 2) òåîðåìû 2.4 î ñòàáèëüíîñòè ïîëîæèòåëüíûõ
     ñâîéñòâ îäíîðîäíûõ îòíîøåíèé.

  2. Ïóñòü α è β  òîëåðàíòíîñòè. Òîãäà

       R: ðåôëåêñèâíîñòü α ◦ β ñëåäóåò èç ï. 1) òåîðåìû 2.4;
       S:

           (α ◦ β)] = (αβ ∪ βα)] = (αβ)] ∪ (βα)] = β ] α] ∪ α] β ] =
                                                                    = βα ∪ αβ = α ◦ β .

  3. Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äîïîëíåíèå ñîõðàíÿåò ñâîéñòâî ñèììåòðè÷íîñòè,
     íî ïðåâðàùàåò ðåôëåêñèâíîå îòíîøåíèå àíòèðåôëåêñèâíîå.

  4. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îòíîøåíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ðåçóëüòàòàìè óêàçàííûõ îïåðàöèé íà-
     ñëåäóþò ðåôëåêñèâíîñòü α è ïðèîáðåòàþò ñâîéñòâî ñèììåòðè÷íîñòè (äëÿ ◦ 
     ñëåäñòâèå ï. 2) ).

                                                                                          ¤

   Çàìåòèì, ÷òî åñëè âçÿòü äðóãîé âàðèàíò ñèììåòðèçîâàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ââåñòè
áèíàðíóþ îïåðàöèþ ( ∗ ) íàä îäíîðîäíûìè îòíîøåíèÿìè α è β ïî ïðàâèëó

                                  α ∗ β , αβ ∩ βα ,

òî α ∗ β áóäåò òîëåðàíòíîñòüþ, åñëè α è β  òîëåðàíòíîñòè, ò.å. èõ ïåðåñòàíîâî÷íîñòè
òðåáîâàòüñÿ íå áóäåò.

Страницы