Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

h A, τ i
K ⊆ A A τ
A τ
K
1
= { 1, 2 } K
2
= { 2, 3 }
h S
n
, ' i K
i
i 1 6 i 6 n S
3
K
1
= { {1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3} }
K
i
z ∈ {S
n
r K
i
} x = {i} ∈ K
i
x 6' z i 6∈ z i ∈ x K
i
S
n
C A
C A
C
A
1
, A
2
, . . .
h A, ' i A
A = A
1
∪ A
2
∪ . . . ,
A A
' A
A
'
(x, y) ∈ τ
τ τ
2.4. Ïðîñòðàíñòâà òîëåðàíòíîñòè                                                    35


   ßñíî, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà òîëåðàíòíîñòü îêàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ, ïî-
íÿòèå ôàêòîðìíîæåñòâà òîëåðàíòíîñòè ïî ÿäðó ñîâïàäàåò ñ ïîíÿòèåì ôàêòîðìíîæåñòâà
ïî ýêâèâàëåíòíîñòè (ñì. ï. (2.3) ).
   Âàæíîé îñîáåííîñòüþ ïðîñòðàíñòâ òîëåðàíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî íà íèõ óäà¼òñÿ
îïðåäåëèòü îñîáûå ïîäìíîæåñòâà ýëåìåíòîâ  êëàññû è ïðåäêëàññû, îáëàäàþùèå ðÿäîì
èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ è îêàçûâàþùèåñÿ ïîäîáíûìè ÿäðàì.
Îïðåäåëåíèå 2.11. Ïóñòü h A, τ i  ïðîñòðàíñòâî òîëåðàíòíîñòè. Ïîäìíîæåñòâî
K ⊆ A íàçûâàþò ïðåäêëàññîì òîëåðàíòíîñòè â A èëè τ -ïðåäêëàññîì, åñëè â í¼ì âñå
ïàðû ýëåìåíòîâ òîëåðàíòíû. Ìàêñèìàëüíûé ïðåäêëàññ íàçûâàþò êëàññîì òîëåðàíòíî-
ñòè â A èëè τ -êëàññîì.
   Äëÿ êðàòêîñòè, ðàññìàòðèâàÿ ïðîñòðàíñòâà òîëåðàíòíîñòè ÷àñòî áóäåì ãîâîðèòü ïðî-
ñòî ¾êëàññ¿ è ¾ïðåäêëàññ¿, èìåÿ ââèäó êëàññû è ïðåäêëàññû òîëåðàíòíîñòè. Òðèâèàëü-
íûì ïðèìåðîì ïðåäêëàññà ÿâëÿåòñÿ ëþáîå îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà òî-
ëåðàíòíîñòè.
Ïðèìåð 2.9.    1. Äëÿ òîëåðàíòíîñòè, çàäàâàåìîé ìàòðèöåé (2.4) êëàññû òîëåðàíòíîñòè
     ñóòü K1 = { 1, 2 } è K2 = { 2, 3 }.
  2. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî òîëåðàíòíîñòè h S n , ' i. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ki ìíîæåñòâî
     âñåõ ãðàíåé, ñîäåðæàùèõ ýëåìåíò i, 1 6 i 6 n. Òàê, äëÿ S 3 ïîëó÷èì, íàïðèìåð,
     K1 = { {1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3} }.
     Ïîíÿòíî, ÷òî Ki  ïðåäêëàññ. Ïóñòü òåïåðü z ∈ {S n r Ki }, è x = {i} ∈ Ki . ßñíî,
     ÷òî x 6' z , ïîñêîëüêó i 6∈ z , íî i ∈ x. Çíà÷èò, ïðåäêëàññ íåðàñøèðÿåì, è Ki 
     êëàññ òîëåðàíòíîñòè â S n .
    Ãîâîðÿò, ÷òî ñîâîêóïíîñòü C íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A îáðàçóåò åãî ïî-
êðûòèå, åñëè îáúåäèíåíèå âñåõ ïîäìíîæåñòâ èç C ñîâïàäàåò ñ A.  îòëè÷èå îò ðàçáèåíèÿ,
ïîäìíîæåñòâà èç C ìîãóò èìåòü íåïóñòûå ïîïàðíûå ïåðåñå÷åíèÿ.
    ßñíî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü A1 , A2 , . . . âñåõ ïðåäêëàññîâ òîëåðàíòíîñòè ïðîñòðàíñòâà
h A, ' i îáðàçóåò ïîêðûòèå ìíîæåñòâà A

                                  A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ,

ò.ê. îáúåäèíåíèå âñåõ îäíîýëåìåíòíûõ ïðåäêëàññîâ óæå îáðàçóåò ïîêðûòèå (òî÷íåå, ðàç-
áèåíèå) A. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè çàäàíû íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî A è ïîêðûòèå
åãî ïîäìíîæåñòâàìè, òî òåì ñàìûì çàäàíà è òîëåðàíòíîñòü ' íà A, åñëè ñ÷èòàòü òîëå-
ðàíòíûìè ëþáóþ ïàðó ýëåìåíòîâ A, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîìó èç ïîäìíîæåñòâ ïîêðûòèÿ.
Ïðè ýòîì äàííûå ïîäìíîæåñòâà áóäóò '-ïðåäêëàññàìè (ñð. ñ òåîðåìîé (2.6) î êëàññàõ
ýêâèâàëåíòíîñòè).
    Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò êëàññû òîëåðàíòíîñòè.
Òåîðåìà 2.13. Äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà ïðîñòðàíñòâà òîëåðàíòíîñòè ñóùåñòâóåò êëàññ
òîëåðàíòíîñòè, åãî ñîäåðæàùèé.
   Ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû ñëåäóåò èç äîêàçàííîé äàëåå (ï. 3.4, ñ. 72) ëåììû 3.3 óòâåð-
æäàþùåé, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ïðåäêëàññà ñóùåñòâóåò ñîäåðæàùèé åãî êëàññ (äîñòàòî÷íî
ðàññìîòðåòü ïðåäêëàññ, ñîñòîÿùèé èç åäèíñòâåííîãî äàííîãî ýëåìåíòà). Òàì æå äîêàçà-
íà ëåììà 3.2 î òîì, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ òîëåðàíòíûõ ýëåìåíòîâ ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí
ñîäåðæàùèé èõ êëàññ.
    ÷àñòîì ñëó÷àå, êîãäà òîëåðàíòíîñòü çàäà¼òñÿ íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå, äîêàçàòåëü-
ñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü (x, y) ∈ τ  ïðî-
èçâîëüíàÿ ïàðà ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà, íàõîäÿùèõñÿ â îòíîøåíèè òîëåðàíòíî-
ñòè τ . Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå τ -ïðåäêëàññû, ñîäåðæàùèå îáà óêàçàííûõ ýëåìåíòà,

Страницы