Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

h A, τ i Ker τ
τ
M(τ) =
1 1 0
1 1 1
0 1 1
,
{1} {2} {3}
A
∗
= A/ Ker τ h A, τ i
A
∗
A
∗
τ
∗
Core(x) τ
∗
Core(y) ⇔ xτy .
ϕ : A → A/ Ker τ , ϕ(x) = Core(x)
xτy ≡ ϕ(x) τ
∗
ϕ(y) .
ϕ
τ τ
∗
A A/ Ker τ
h A/ Ker τ, τ
∗
i τ
∗
M(τ
∗
) = M(τ)
τ A = { 1, . . . , 9 }
M(τ) =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1 0 1
.
τ
C
1
= Core(1) = { 1, 2 }, C
2
= Core(3) = { 3 },
C
3
= Core(4) = { 4, 6 }, C
4
= Core(5) = { 5 },
C
5
= Core(7) = { 7, 9 }, C
6
= Core(8) = { 8 }.
τ
∗
A
∗
= A/ Ker τ = { C
1
, . . . , C
6
}
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0
1 1 1 0 0 0
1 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1
.
34                                                 Ãëàâà 2. Îòíîøåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ.


   Äëÿ ïðîñòðàíñòâà òîëåðàíòíîñòè h A, τ i îïðåäåëÿþò ïî (2.5) ÿäðî Ker τ òîëåðàíò-
íîñòè τ (äâà ýëåìåíòà ïðèíàäëåæàò ÿäðó, åñëè îíè òîëåðàíòíû îäíèì è òåì æå îáúåê-
òàì). Íàïðèìåð, äëÿ òîëåðàíòíîñòè, çàäàâàåìîé ìàòðèöåé (2.4)
                                                
                                          1 1 0
                              M (τ ) =  1 1 1  ,
                                          0 1 1

ÿäðà ñóòü {1}, {2} è {3}. Òîëåðàíòíîñòü, ó êîòîðîé âñå ÿäðà, êàê ó ðàññìîòðåííîé,
îäíîýëåìåíòíû, áóäåì íàçûâàòü ïðîñòîé.
   Ôàêòîðìíîæåñòâî A∗ = A/ Ker τ ïðîñòðàíñòâà h A, τ i ñîñòîèò èç åãî ÿäåð. Íàçî-
â¼ì A∗ ôàêòîðìíîæåñòâîì ïðîñòðàíñòâà òîëåðàíòíîñòè ïî åãî ÿäðó. Ââåä¼ì íà A∗
îòíîøåíèå τ ∗ ïî ïðàâèëó
                            Core(x) τ ∗ Core(y) ⇔ xτ y .
Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ êîððåêòíîñòü äàííîãî îïðåäåëåíèÿ, ò.å. åãî íåçàâèñèìîñòü îò âûáîðà
ïðåäñòàâèòåëÿ â ÿäðå. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî îòîáðàæåíèå

                         ϕ : A → A/ Ker τ ,   ϕ(x) = Core(x)

ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó åãî ÿäðî, îáëàäàåò ñâîéñòâîì

                                 xτ y ≡ ϕ(x) τ ∗ ϕ(y) .                           (2.6)

    òàêèõ ñëó÷àÿõ áóäåì ãîâîðèòü, îòîáðàæåíèå ÷òî ϕ òîæäåñòâåííî ñîãëàñîâàííî ñ
ïàðîé îòíîøåíèé τ è τ ∗ íà ìíîæåñòâàõ A è A/ Ker τ ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì,
h A/ Ker τ, τ ∗ i  ïðîñòðàíñòâî òîëåðàíòíîñòè. Èç îïðåäåëåíèÿ ÿäðà è îòíîøåíèÿ τ ∗
ñëåäóåò, ÷òî îíî ïðîñòî. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé òîëåðàíòíîñòè, çàäàâàåìîé ìàòðèöåé (2.4)
áóäåì, î÷åâèäíî, èìåòü M (τ ∗ ) = M (τ ).
Ïðèìåð 2.8. Ïóñòü òîëåðàíòíîñòü τ íà ìíîæåñòâå A = { 1, . . . , 9 } çàäàíà ìàòðèöåé
                                                          
                                    1 1 1 1 1 1 1 1 1
                                   1 1 1 1 1 1 1 1 1 
                                   1 1 1 1 1 1 1 0 1 
                                                          
                                   1 1 1 1 0 1 0 0 0 
                                                          
                         M (τ ) = 
                                   1  1  1 0  1 0  1 1  1 .
                                                                                 (2.7)
                                   1 1 1 1 0 1 0 0 0 
                                                          
                                   1 1 1 0 1 0 1 0 1 
                                   1 1 0 0 1 0 0 1 0 
                                   1 1 1 0 1 0 1 0 1
ßäðà τ ñóòü
                   C1 = Core(1) = { 1, 2 },   C2 = Core(3) = { 3 },
                   C3 = Core(4) = { 4, 6 },   C4 = Core(5) = { 5 },
                   C5 = Core(7) = { 7, 9 },   C6 = Core(8) = { 8 }.
   Ìàòðèöà òîëåðàíòíîñòè τ ∗ íà ôàêòîðìíîæåñòâå A∗ = A/ Ker τ = { C1 , . . . , C6 }
åñòü                                         
                                1 1 1 1 1 1
                              1 1 1 1 1 0 
                                             
                              1 1 1 0 0 0 
                              1 1 0 1 1 1 .
                                             
                              1 1 0 1 1 0 
                                1 0 0 1 0 1

Страницы