Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x y xτy ⇔ x − y
T = h A, ' i A '
A P
∗
(A)
X, Y ∈ P
∗
(A) X ' Y = (X ∩ Y 6= ∅)
h P
∗
(A), ' i
P
∗
(A) A = { 1, . . . , n } S
n
(n − 1)
1, . . . , n
k (k − 1)
S
4
S
n
4
1 3
2
S
4
S
n
2
n
− 1
M =
1 1 0
1 1 1
0 1 1
,
x
2
x
1
x
3
' M '
t
32                                                  Ãëàâà 2. Îòíîøåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ.


     3. Äëÿ ýëåìåíòîâ x è y íåêîòîðîãî êîëüöà xτ y ⇔ ¾ýëåìåíò x − y íåîáðàòèì ¿.
Îïðåäåëåíèå 2.10. Ïàðó T = h A, ' i, ãäå A  íåïóñòîå ìíîæåñòâî, à '  òîëåðàíò-
íîñòü íà í¼ì, íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì òîëåðàíòíîñòè.
Ïðèìåð 2.7. Ïóñòü A  íåïóñòîå ìíîæåñòâî è P ∗ (A)  ñîâîêóïíîñòü âñåõ åãî íåïóñòûõ
ïîäìíîæåñòâ. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ X, Y ∈ P ∗ (A) ïîëîæèì X ' Y = (X ∩ Y 6= ∅). Òîãäà
h P ∗ (A), ' i  ïðîñòðàíñòâî òîëåðàíòíîñòè.
   Ìíîæåñòâî P ∗ (A) ïðè A = { 1, . . . , n } áóäåì îáîçíà÷àòü S n . Åãî íàçûâàþò (n − 1)-
ìåðíûì ñèìïëåêñîì. Ýòî ïîíÿòèå îáîáùàåò ïîíÿòèÿ îòðåçêà, òðåóãîëüíèêà, òåòðàýäðà íà
ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. ×èñëà 1, . . . , n èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê âåðøèíû ñèìïëåêñà. Äâóõ-
ýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà  êàê ð¼áðà, òð¼õýëåìåíòíûå  êàê ïëîñêèå (äâóìåðíûå) ãðà-
íè, è âîîáùå, k -ýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà  êàê (k − 1)-ìåðíûå ãðàíè. Íà ðèñ. 2.3 èçîá-
ðàæåí ñèìïëåêñ S4 . Òîëåðàíòíîñòü ãðàíåé ñèìïëåêñà S n îçíà÷àåò èõ ãåîìåòðè÷åñêóþ


                                              4 [
                                            [
                                            
                                         1 [      w3
                                            [ 
                                                2


                                 Ðèñ. 2.3: Ñèìïëåêñ S 4

èíöèäåíòíîñòü  íàëè÷èå îáùèõ âåðøèí. ×èñëî âñåõ ýëåìåíòîâ S n ðàâíî, ðàçóìååòñÿ,
2n − 1.
   Íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå òîëåðàíòíîñòü ìîæíî, êàê è ëþáîå îòíîøåíèå, çàäàâàòü (0,1)-
ìàòðèöåé. ßñíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà áóäåò ñèììåòðè÷íà è ñîäåðæàòü 1 íà ãëàâ-
íîé äèàãîíàëè, à ëþáàÿ òàêàÿ ìàòðèöà  çàäàâàòü òîëåðàíòíîñòü. Òàêæå òîëåðàíòíîñòü,
êàê è ëþáîå îòíîøåíèå, çàäàþò â âèäå ãðàôà. Ïðè ýòîì âåðøèíû ãðàôà, ñîîòâåòñòâó-
þùèõ, íàïîìíèì, ýëåìåíòàì ìíîæåñòâà, ñîåäèíÿþò íåîðèåíòèðîâàííûìè ð¼áðàìè (ñèì-
ìåòðè÷íîñòü), à ïåòëè â êàæäîé âåðøèíå (ðåôëåêñèâíîñòü) îïóñêàþò. Òàê, ïðîñòðàíñòâî
òîëåðàíòíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåå ìàòðèöå (2.4)
                                               
                                         1 1 0
                                 M =  1 1 1 ,
                                         0 1 1
çàäà¼òñÿ ãðàôîì, ïîêàçàííûì íà ðèñ. 2.4



                                            [[
                                           x2

                                         
                                    x1              x3


                 Ðèñ. 2.4: Ãðàô òîëåðàíòíîñòè, çàäàííîé ìàòðèöåé (2.4)

   Ðàññìîòðèì òåïåðü àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà îïåðàöèé íàä òîëåðàíòíîñòÿìè. ßñíî,
íàïðèìåð, ÷òî òðàíçèòèâíîå çàìûêàíèå òîëåðàíòíîñòè åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü. Òàê, äëÿ
òîëåðàíòíîñòè ', çàäàííîé âûøåïðèâåä¼ííîé ìàòðèöåé M 't åñòü àìîðôíàÿ ýêâèâà-
ëåíòíîñòü.

Страницы