Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

aϕ = b a
ϕ
= b A → B
F un (A, B) A = B F un (A)
ϕ : A → B
b, b = ϕ(a) a a b
b ∈ B
b A
0
⊂ A ϕ : A → B ϕ
0
: A
0
→ B
ϕ(x) = ϕ
0
(x) x ∈ A
0
ϕ A
0
ϕ
ϕ
0
ϕ : A → B
ψ : A → B ϕ = ψ
ϕ ψ A B a ∈ A ϕ
ψ (a, b
1
) (a, b
2
) b
1
, b
2
∈ B
b
1
6= b
2
ϕ ∪ ψ (a, b
1
) (a, b
2
) ϕ ∩ ψ
a ¤
A, B C ϕ A
B ψ B C ϕψ A C
½
M
A
⊆ ϕϕ
]
, ϕ
]
ϕ ⊆M
B
M
B
⊆
ψψ
]
, ψ
]
ψ
⊆
M
C
⇒ M
A
⊆ ϕϕ
]
=
= ϕ M
B
ϕ
]
⊆ ϕ(ψψ
]
)ϕ
]
= (ϕψ)(ψ
]
ϕ
]
) = (ϕψ)(ϕψ)
]
,
M
A
⊆ (ϕψ)(ϕψ)
]
(ϕψ)
]
(ϕψ) ⊆M
C
¤
∗
(ϕ ¦ ψ)(x) = (ϕ ∗ ψ)(x) = ψ(ϕ(x))
M
A
A
id
A
ϕ : A → B
ϕϕ
]
= O
A
ϕ(x) = b ∈ B x ∈ A
A B id
A
= ϕϕ
]
A
ϕ
→ B
A ⊆ B ϕ(x) = x A
B
ψ(ϕ(x)) = xϕψ
xϕψ = x(ϕψ)
40                                                     Ãëàâà 2. Îòíîøåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ.


aϕ = b èëè äàæå aϕ = b. Ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé A → B áóäåì îáîçíà÷àòü
F un (A, B). Ïðè A = B áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì F un (A).
    Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè äëÿ ñîîòâåòñòâèé, åñëè ϕ : A → B , òî ýëåìåíò
b, b = ϕ(a) íàçûâàþò îáðàçîì ýëåìåíòà a, à ýëåìåíò a  ïðîîáðàçîì ýëåìåíòà b.
Ñîâîêóïíîñòü (âîçìîæíî ïóñòàÿ) âñåõ ïðîîáðàçîâ ýëåìåíòà b ∈ B íàçûâàåòñÿ ïîëíûì
ïðîîáðàçîì b. Åñëè A 0 ⊂ A è ϕ : A → B , òî ïðî îòîáðàæåíèå ϕ 0 : A0 → B , ãäå
ϕ(x) = ϕ 0 (x) äëÿ âñåõ x ∈ A 0 , ãîâîðÿò, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ñóæåíèåì èëè îãðàíè÷åíèåì
îòîáðàæåíèÿ ϕ íà A 0 , à ïðî îòîáðàæåíèå ϕ  ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì èëè
ðàñøèðåíèåì îòîáðàæåíèÿ ϕ 0 .
    Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè, ê íèì ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ïðèìå-
íÿòü òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè. Îäíàêî âî-ïåðâûõ, îòðèöàíèå îòîáðàæåíèÿ,
î÷åâèäíî, îòîáðàæåíèåì íå ÿâëÿåòñÿ, à âî-âòîðûõ  ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ

Óòâåðæäåíèå 2.4. Îáúåäèíåíèå [ ïåðåñå÷åíèå ] äâóõ îòîáðàæåíèé ϕ : A → B è
ψ : A → B ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì, åñëè è òîëüêî åñëè ϕ = ψ .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ϕ è ψ  îòîáðàæåíèÿ èç A â B , äëÿ êàæäîãî a ∈ A ϕ è
ψ ñîäåðæàò ëèøü ïî îäíîé ïàðå (a, b1 ) è (a, b2 ) ñîîòâåòñòâåííî, ãäå b1 , b2 ∈ B . Åñëè
ïðåäïîëîæèòü, ÷òî b1 6= b2 , òî ϕ ∪ ψ ñîäåðæèò äâå ïàðû (a, b1 ) è (a, b2 ), à ϕ ∩ ψ íå
ñîäåðæèò íè îäíîé ïàðû ñ ïåðâûì ýëåìåíòîì, ðàâíûì a.                                   ¤

   Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèå ê îòîáðàæåíèÿì îáû÷íûõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïå-
ðàöèé èíòåðåñà íå ïðåäñòàâëÿåò. Ðàññìîòðèì òåïåðü îïåðàöèþ ïðîèçâåäåíèÿ îòíîøåíèé,
ïðèìåí¼ííóþ ê îòîáðàæåíèÿì.

Òåîðåìà 2.17. Åñëè A, B è C  íåïóñòûå ìíîæåñòâà, ϕ  îòîáðàæåíèå èç A â
B , à ψ  îòîáðàæåíèå èç B â C , òî ϕψ  îòîáðàæåíèå èç A â C .

Äîêàçàòåëüñòâî.
     ½
         MA ⊆ ϕϕ] , ϕ] ϕ ⊆MB
                               ⇒ MA ⊆ ϕϕ] =
         MB ⊆ ψψ ] , ψ ] ψ ⊆MC
                                      = ϕ MB ϕ] ⊆ ϕ(ψψ ] )ϕ] = (ϕψ)(ψ ] ϕ] ) = (ϕψ)(ϕψ)] ,

ò.å. MA ⊆ (ϕψ)(ϕψ)] . Âêëþ÷åíèå (ϕψ)] (ϕψ) ⊆MC ïîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.                       ¤

   Ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé êàê îòîáðàæåíèé ïðèíÿòî çàïèñûâàòü êàê èõ êîìïîçèöèþ ∗:
(ϕ ¦ ψ)(x) = (ϕ ∗ ψ)(x) = ψ(ϕ(x))6 .
   Ðàññìîòðèì ñïåöèàëüíûå âèäû îòîáðàæåíèé. Åäèíè÷íîå îòíîøåíèå MA , ðàññìàòðè-
âàåìîå êàê îòîáðàæåíèå A íà ñåáÿ, íàçûâàþò òîæäåñòâåííûì. Äëÿ òîæäåñòâåííîãî
îòîáðàæåíèÿ áóäåì óïîòðåáëÿòü îáîçíà÷åíèå idA .

Îïðåäåëåíèå 2.15. Îòîáðàæåíèå ϕ : A → B íàçûâàåòñÿ
     ˆ ïîñòîÿííûì èëè êîíñòàíòîé, åñëè ϕϕ] = OA . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äàííîå ñîîòíî-
       øåíèå ýêâèâàëåíòíî ϕ(x) = b ∈ B äëÿ âñåõ x ∈ A.
     ˆ âëîæåíèåì èëè èíúåêòèâíûì îòîáðàæåíèåì A â B , åñëè idA = ϕϕ] , ÷òî çàïè-
                     ϕ
       ñûâàþò êàê A ,→ B .
         Åñëè A ⊆ B , òî ϕ(x) = x íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííûì âëîæåíèåì ìíîæåñòâà A â
         ìíîæåñòâî B .
  6 Çäåñü ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì óäîáñòâî çàïèñè ψ(ϕ(x)) = xϕψ .  ýòîì ñëó÷àå ïðèâåä¼ííîå ñîîòíî-
øåíèå çàïèñûâàåòñÿ â åñòåñòâåííîé ôîðìå xϕψ = x(ϕψ).

Страницы