Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A B ϕ
]
ϕ = id
B
B
id
A
= ϕϕ
]
N ϕ
]
ϕ = id
B
A B
Bij (A, B) A = B Bij (A)
A
B ϕ
]
(y) y ∈ Y
A = A
1
× . . . × A
n
A
π
i
→ A
i
(a
1
, . . . , a
i
, . . . , a
k
)
π
i
7→ a
i
i = 1, n
ϕ : A → B ϕ
]
B A ψ : B → A
ϕ : A → B id
A
= ϕψ N ψϕ = id
B
ϕ
ϕ
]
ϕ
ϕ
−1
ϕ
]
h F un (A), ∗, id
A
i A
End A Symm
A
= h Bij (A), ∗,
−1
, id
A
i
A Aut A
A
F un (A)
f : X → Y
g
1
, g
2
Z X
g
1
¦ f = g
2
¦ f ⇔ g
1
= g
2
.
(⇒) f X Y
g
1
, g
2
Z X g
1
¦ f = g
2
¦ f
g
1
¦ f ¦ f
]
= g
2
¦ f ¦ f
]
g
1
¦ id
X
= g
2
¦ id
X
g
1
= g
2
(⇐) g
1
, g
2
Z X
g
1
¦ f = g
2
¦ f ⇔ g
1
= g
2
f x
1
x
2
X x
1
6= x
2
f(x
1
) = f(x
2
) Z
{z
0
} g
1
, g
2
Z X g
1
(z
0
) = x
1
g
2
(z
0
) = x
2
f(g
1
(z
0
)) = f(g
2
(z
0
)) g
1
¦ f = g
2
¦ f
g
1
= g
2
x
1
= x
2
¤
f : X → Y
g
1
, g
2
Y Z
f ¦ g
1
= f ¦ g
2
⇔ g
1
= g
2
.
(⇒) f X Y
g
1
, g
2
Y Z f ¦ g
1
= f ¦ g
2
f
2.6. Îòîáðàæåíèÿ è èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà                                                    41


   ˆ íàëîæåíèåì èëè ñþðúåêòèâíûì îòîáðàæåíèåì A â B , åñëè ϕ] ϕ = idB . Ëåãêî
     âèäåòü, ÷òî ïðè íàëîæåíèè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà B èìååò ñâîé ïðîîáðàç.
   ˆ áèåêöèåé,      áèåêòèâíûì,     âçàèìíîîäíîçíà÷íûì      îòîáðàæåíèåì,    åñëè
     idA = ϕϕ] N ϕ] ϕ = idB , ò.å. îíî ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è âëîæåíèåì, è íàëî-
     æåíèåì. Ìíîæåñòâî âñåõ áèåêòèâíûõ îòîáðàæåíèé èç A â B áóäåì îáîçíà÷àòü
     Bij (A, B), à â ñëó÷àå A = B  ïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì Bij (A).

    Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè âëîæåíèè ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû A ïåðåõîäÿò â ðàçëè÷íûå ýëå-
ìåíòû B è ïðîîáðàç ϕ] (y) ýëåìåíòà y ∈ Y  íå áîëåå, ÷åì îäíîýëåìåíòíîå ìíîæå-
                                                                             π
ñòâî. Òàêæå ÿñíî, ÷òî äëÿ A = A1 × . . . × An îòîáðàæåíèÿ A →i Ai , îïðåäåëÿåìûå
                                     πi
êàê (a1 , . . . , ai , . . . , ak ) 7→ ai , i = 1, n ñþðúåêòèâíû. Îíè íàçûâàþòñÿ îòîáðàæåíèÿìè
ïðîåêòèðîâàíèÿ.
    Ïñåâäîîáðàòíîå ê îòîáðàæåíèþ ϕ : A → B ñîîòâåòñòâèå ϕ] , ïîíÿòíî, ìîæåò è íå
îêàçàòüñÿ îòîáðàæåíèåì èç B â A. Îòîáðàæåíèå ψ : B → A íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì
îòîáðàæåíèþ ϕ : A → B , åñëè idA = ϕψ N ψϕ = idB . ßñíî, ÷òî åñëè ϕ  áèåêöèÿ, òî
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåìîå ïñåâäîîáðàòíîå ê íåé îòíîøåíèå ϕ] ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì
è, áîëåå òîãî, áèåêöèåé. Òàêæå ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòèì ñëó÷àåì èñ÷åðïûâàþòñÿ âîçìîæ-
íîñòè îòîáðàæåíèÿ èìåòü îáðàòíîå. Äëÿ áèåêöèè, îáðàòíîé ê áèåêöèè ϕ åñòåñòâåííî
èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå ϕ−1 , à íå ϕ] .
    Ìîíîèä h F un (A), ∗, idA i íàçûâàþò ìîíîèäîì ýíäîìîðôèçìîâ ìíîæåñòâà A è îáî-
çíà÷àþò End A. Ñèììåòðè÷åñêóþ ãðóïïó SymmA = h Bij (A), ∗, −1 , idA i íàçûâàþò òàê-
æå ãðóïïîé àâòîìîðôèçìîâ ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àþò Aut A.
    Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ê îòîáðàæåíèÿì îïåðàöèè ïðîèçâåäåíèÿ (êîìïîçèöèè).
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ âëîæåíèé, íàëîæåíèé èëè áèåêöèé òàêæå
ÿâëÿåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, âëîæåíèåì, íàëîæåíèåì èëè áèåêöèåé. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ
êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A èíúåêòèâíîñòü, ñþðúåêòèâíîñòü è áèåêòèâíîñòü ôóíêöèé èç
F un (A)  ðàâíîñèëüíûå óñëîâèÿ.
    Ñëåäóþùèå äâå òåîðåìû õàðàêòåðèçóþò âëîæåíèå è íàëîæåíèå ÷åðåç ñâîéñòâà èõ
ïðîèçâåäåíèé (êîìïîçèöèé).
Òåîðåìà 2.18. Îòîáðàæåíèå f : X → Y  èíúåêöèÿ åñëè è òîëüêî åñëè äëÿ ëþáûõ
äâóõ îòîáðàæåíèé g1 , g2 èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà Z â X

                                g1 ¦ f = g2 ¦ f ⇔ g1 = g2 .

Äîêàçàòåëüñòâî. (⇒) Ïóñòü f  èíúåêöèÿ èç ìíîæåñòâà X â Y è äëÿ ëþáûõ äâóõ
îòîáðàæåíèé g1 , g2 èç Z â X ñïðàâåäëèâî g1 ¦ f = g2 ¦ f . Íî òîãäà æå ñïðàâåäëèâî
g1 ¦ f ¦ f ] = g2 ¦ f ¦ f ] èëè g1 ¦ idX = g2 ¦ idX , îòêóäà g1 = g2 .
    (⇐) Ïóñòü äëÿ ëþáûõ äâóõ îòîáðàæåíèé g1 , g2 èç Z â X ñïðàâåäëèâà ðàâíîñèëü-
íîñòü g1 ¦ f = g2 ¦ f ⇔ g1 = g2 , íî f íå ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì. Òîãäà íàéäóòñÿ x1 è x2
èç X , ÷òî x1 6= x2 , íî f (x1 ) = f (x2 ). Âîçüì¼ì â êà÷åñòâå Z îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî
{z0 } è ïîñòðîèì äâà îòîáðàæåíèÿ g1 , g2 èç Z â X òàêèå, ÷òî g1 (z0 ) = x1 , g2 (z0 ) = x2 .
Ïîñêîëüêó f (g1 (z0 )) = f (g2 (z0 )), à äðóãèõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà íåò, òî g1 ¦ f = g2 ¦ f ,
g1 = g2 è x1 = x2 . Ïðîòèâîðå÷èå.                                                         ¤


Òåîðåìà 2.19. Îòîáðàæåíèå f : X → Y  ñþðúåêöèÿ åñëè è òîëüêî åñëè äëÿ ëþáûõ
äâóõ îòîáðàæåíèé g1 , g2 èç Y â íåêîòîðîå ìíîæåñòâî Z

                                f ¦ g1 = f ¦ g2 ⇔ g1 = g2 .

Äîêàçàòåëüñòâî. (⇒) Ïóñòü f  ñþðúåêöèÿ èç ìíîæåñòâà X â Y è äëÿ ëþáûõ äâóõ
îòîáðàæåíèé g1 , g2 èç Y â Z ñïðàâåäëèâî f ¦ g1 = f ¦ g2 . Èç òîãî, ÷òî f  íàëîæåíèå

Страницы