Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
0
=
C
0
+
C
1
+
C
2
+
C
3
+
C
4
+
. . .
+
C
ϕ
A
1
=
C
1
+
C
2
+
C
3
+
C
4
+
. . .
+
C
A
0
A
1
π(u) u
ϕ : A → B Ker ϕ ∈ R(A)
a
1
(Ker ϕ)a
2
⇔ ϕ(a
1
) = ϕ(a
2
).
ϕ A
A/ Ker ϕ nat(A, Ker ϕ)
ϕ : A → B nat(A, Ker ϕ)
A B A/ Ker ϕ
Ker ϕ = ϕϕ
]
ϕ A B
A ϕ A B
A, B, C, D
α : A → B, β : B → C, γ : A → C,
δ : B → D, ε : C → D.
A B A B
C C D
α
γ
β
α
γ
δ
ε
γ = αβ αδ = γε
↔
A
B ϕ : A → B ϕ
ϕ = π ∗ ϕ
0
∗ µ,
π = nat(Ker ϕ) ϕ
0
A/ Ker ϕ Im ϕ µ Im ϕ
B
2.6. Îòîáðàæåíèÿ è èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà                                                                           43



          A0    =       C0   +     C1           +    C2   +   C3        +   C4   +      ...   +        Cu
                                         u

                                                       ϕ
                                                                  u
                                                                                           
                                     u                               u                                   u
          A1    =                   C1           +    C2    +   C3        +   C4   +       ...   +        C


               Ðèñ. 2.7: Ñõåìà ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó ìíîæåñòâàìè A0 è A1

  2. π(u)  íà÷àëüíàÿ áóêâà ñëîâà u.
   Ïóñòü äàíî îòîáðàæåíèå ϕ : A → B . Åãî ÿäðîì íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå Ker ϕ ∈ R(A),
çàäàííîå êàê
                          a1 (Ker ϕ)a2 ⇔ ϕ(a1 ) = ϕ(a2 ).                     (2.9)
Ïîíÿòíî, ÷òî ÿäðî îòîáðàæåíèÿ åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîíÿòèÿ ÿäðà ñîîòâåòñòâèÿ (2.5) è
ÿâëÿåòñÿ ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ.
   Ñ ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ îòîáðàæåíèÿ ϕ èç A ñâÿçàíî ôàêòîðìíîæå-
ñòâî A/ Ker ϕ è íàòóðàëüíîå îòîáðàæåíèå nat(A, Ker ϕ). Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèÿ
ϕ : A → B è nat(A, Ker ϕ) èìåþò îáùóþ ÿäåðíóþ ýêâèâàëåíòíîñòü, íî îòîáðàæàþò
A â ðàçíûå ìíîæåñòâà: ñîîòâåòñòâåííî â B è â A/ Ker ϕ. Òàêæå íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî
Ker ϕ = ϕϕ] . ßñíî, ÷òî åñëè ÿäðî îòîáðàæåíèÿ ϕ èç A â B åñòü äèàãîíàëüíîå îòíîøå-
íèå íà A, òî ϕ  âëîæåíèå A â B .
   Äàëåå ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì óäîáíûì èçîáðàæåíèåì ñîîòâåòñòâèé. Åñëè
A, B, C, D  íåêîòîðûå ìíîæåñòâà è
                                 α : A → B, β : B → C, γ : A → C,
                                        δ : B → D, ε : C → D.
òî óêàçàííûå îòîáðàæåíèÿ íà íèõ íàãëÿäíî çàäàþò â âèäå äèàãðàìì, ïðèâåä¼ííûõ
íà ðèñ. 2.8.


                A   [[
                             α
                                      wB                                            A
                                                                                            α
                                                                                                 wB
                         [[]                                                    γ                  δ
                    γ
                                           β
                                                                                       u          u
                             C                                                      C
                                                                                            ε
                                                                                                 wD
                         Ðèñ. 2.8: Äèàãðàììû îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâ

   Ãîâîðÿò, ÷òî ýòè äèàãðàììû êîììóòàòèâíû, åñëè γ = αβ è αδ = γε ñîîòâåòñòâåííî.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîñòü è äëÿ áîëåå ñëîæíûõ äèàãðàìì. Áèåêòèâíûå
îòîáðàæåíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü íà äèàãðàììàõ äâóíàïðàâëåííûìè ñòðåëêàìè ↔.
   Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü îñíîâíóþ òåîðåìó î ðàçëîæåíèè îòîáðàæåíèé.
Òåîðåìà 2.21 (Î ðàçëîæåíèè îòîáðàæåíèé). Ïóñòü äàíû íåïóñòûå ìíîæåñòâà A,
B è îòîáðàæåíèå ϕ : A → B . Òîãäà äëÿ îòîáðàæåíèÿ ϕ ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå
                                                     ϕ = π ∗ ϕ 0 ∗ µ,                                          (2.10)
ãäå π = nat(Ker ϕ), ϕ 0  áèåêöèÿ ìåæäó A/ Ker ϕ è Im ϕ è µ  âëîæåíèå Im ϕ â
B.

Страницы