Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A B
A/ Ker ϕ
Im ϕ
ϕ
π
ϕ
0
µ
Im ϕ B µ
Ker ϕ ϕ
0
: A/ Ker ϕ → Im ϕ
2.10 π nat(Ker ϕ)
¤
A B ϕ : A → B
ψ : A/ Ker ϕ → B
A B
A/Ker ϕ
ϕ
nat (Ker ϕ)
ψ
ψ = ϕ
0
∗µ ψ ψ([a]
Ker ϕ
) = ϕ(a)
Ker ϕ B ¤
ϕ : A → B
ϕ = π ∗ ψ π = nat(A, Ker ϕ) ψ
∼ Ker ϕ
χ : A/∼ → B
A B
ϕ : A → B ∼ A ∼ ⊆ Ker ϕ
χ : A/∼ → B
A B
A/∼
ϕ
nat (∼)
χ
χ
χ([a]
∼
) = ϕ(a), a ∈ A ∼ ⊆ Ker ϕ
x [a]
∼
χ(x) = ϕ(a)
χ A/ ∼ ∼ = Ker ϕ
χ χ
¤
44                                                            Ãëàâà 2. Îòíîøåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ.


Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû áóäåò ñïðàâåäëèâî â ñëó÷àå êîììóòàòèâíîñòè äèà-
ãðàììû
                                 A
                                          ϕ
                                                  Bu            w
                                  π                                  µ
                                      u
                               A/ Ker ϕ
                                                       ϕ0
                                                              w Im ϕ
   ßñíî, ÷òî Im ϕ åñòü ïîäìíîæåñòâî B .  êà÷åñòâå µ âîçüì¼ì åñòåñòâåííîå âëîæåíèå.
Èç îïðåäåëåíèÿ Ker ϕ ñëåäóåò, ÷òî îòîáðàæåíèå ϕ 0 : A/ Ker ϕ → Im ϕ áèåêòèâíî. Îòñþ-
äà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ðàçëîæåíèÿ (2.10 ), åñëè â êà÷åñòâå π âçÿòü nat(Ker ϕ). Ïðè
ýòîì âñå ýëåìåíòû ðàçëîæåíèÿ (2.10) îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.                          ¤

     Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîëüêî ÷òî äîêàçàííîé.

Òåîðåìà 2.22 (Îñíîâíîå ñâîéñòâî îòîáðàæåíèé). Ïóñòü äàíû íåïóñòûå ìíîæå-
ñòâà A, B è îòîáðàæåíèå ϕ : A → B . Òîãäà èìååòñÿ åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå
ψ : A/ Ker ϕ → B ÿâëÿþùååñÿ âëîæåíèåì, è òàêîå, ÷òî äèàãðàììà

                                  A   ''
                                                   ϕ
                                                                wB
                                          ')                  [
                                                              ]
                              nat (Ker ϕ)                   [[ψ
                                              A/Ker ϕ

êîììóòàòèâíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì â (2.10) ψ = ϕ 0 ∗µ . Òîãäà ψ çàäàííîå êàê ψ([a]Ker ϕ ) = ϕ(a) 
îäíîçíà÷íî îïðåäåë¼ííîå âëîæåíèå Ker ϕ â B .                                           ¤

    Èç äàííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ : A → B ñïðàâåäëèâî
êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ϕ = π ∗ ψ , ãäå π = nat(A, Ker ϕ)  íàëîæåíèå, à ψ  âëî-
æåíèå. Òàêîå ðàçëîæåíèå, î÷åâèäíî, åäèíñòâåííî. Ýòî ñâîéñòâî è íàçûâàþò îñíîâíûì
ñâîéñòâîì îòîáðàæåíèé.
    Îñíîâíîå ñâîéñòâî îòîáðàæåíèé ìîæíî îáîáùèòü, åñëè çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëü-
íîé ýêâèâàëåíòíîñòè ∼, ñîäåðæàùèéñÿ â Ker ϕ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå
χ : A/ ∼ → B .

Òåîðåìà 2.23 (Î ôàêòîðìíîæåñòâàõ). Ïóñòü äàíû íåïóñòûå ìíîæåñòâà A, B ñ
îòîáðàæåíèåì ϕ : A → B è ýêâèâàëåíòíîñòü ∼ íà A òàêàÿ, ÷òî ∼ ⊆ Ker ϕ. Òîãäà
èìååòñÿ åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå χ : A/∼ → B òàêîå, ÷òî äèàãðàììà

                                      A   [
                                                   ϕ
                                                             wB
                                             [[]         χ
                                   nat (∼)              
                                               A/ ∼

êîììóòàòèâíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Êîììóòàòèâíîñòü äèàãðàììû îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè çàäàíèè χ ïðàâèëîì
χ([a]∼ ) = ϕ(a), a ∈ A. Òàêîå çàäàíèå êîððåêòíî, ïîñêîëüêó, â ñèëó ∼ ⊆ Ker ϕ, âñåì
ýëåìåíòàì x èç [a]∼ ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå χ(x) = ϕ(a). ßäåðíàÿ ýêâè-
âàëåíòíîñòü îòîáðàæåíèÿ χ  åäèíè÷íîå îòíîøåíèå íà A/ ∼ ëèøü ïðè ∼ = Ker ϕ, è
ïîýòîìó χ, âîîáùå ãîâîðÿ, íå åñòü âëîæåíèå. Åäèíñòâåííîñòü χ ñëåäóåò èç òåîðåìû î
êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè.                                                         ¤

Страницы