Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Z r {0}
ρ fρh ⇔
f h
ρ
ρ = ρ
n
, n ∈ N ρ
xρy yρx x = y x 6= y
m | n n | m
m = n |m| = |n|
ρ x
y xρy yρx
¹ P
ε P
a ε b ⇔ a ¹ b N b ¹ a
≤ P/ε
[ a ]
ε
≤ [ b ]
ε
⇔ a ¹ b
46                                      Ãëàâà 3. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà


Ãëàâà 3
×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà
   ¾Ïîíÿòèå ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì äëÿ ñî-
âðåìåííîé òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé ìàòåìàòèêè è âñòðå÷àåòñÿ âî ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ
âîïðîñàõ.¿ [ Ë.À. Ñêîðÿêîâ. Ïðåäèñëîâèå ðåäàêòîðà ðóññêîãî ïåðåâîäà êíèãå Ë. Áåð-
íà ¾Óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà¿ ].


3.1 Ïðåäïîðÿäêè è ïîðÿäêè
Îïðåäåëåíèå 3.1. Ïðåäïîðÿäêàìè íàçûâàþò ðåôëåêñèâíûå è òðàíçèòèâíûå îäíîðîäíûå
îòíîøåíèÿ.
Ïðèìåð 3.1. Ïðåäïîðÿäêàìè, íàïðèìåð, ÿâëÿþòñÿ:
1) îòíîøåíèå äåëèìîñòè íà ìíîæåñòâå Z r {0} ;
2) îòíîøåíèå ρ íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé, çàäàâàåìîå óñëîâèåì ¾f ρh ⇔
     ìíîæåñòâî íóëåé ôóíêöèè f ñîäåðæèòñÿ âî ìíîæåñòâå íóëåé ôóíêöèè h¿.
   Ïðåäïîðÿäêè èíîãäà íàçûâàþò êâàçèïîðÿäêàìè. Äëÿ ïðåäïîðÿäêà ρ ïî òåîðåìå 2.3
èìååì ρ = ρn , n ∈ N. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè ρ  ïðåäïîðÿäîê, òî îäíîâðåìåí-
íàÿ ñïðàâåäëèâîñòü xρy è yρx ìîæåò áûòü êàê ïðè x = y , òàê è ïðè x 6= y . Èñêëþ÷èâ
ïîñëåäíèé ñëó÷àé, ïðèõîäèì ê ïîíÿòèþ ïîðÿäêà.
Îïðåäåëåíèå 3.2. Ðåôëåêñèâíûå, àíòèñèììåòðè÷íûå è òðàíçèòèâíûå áèíàðíûå îòíî-
øåíèÿ íàçûâàþò îòíîøåíèÿìè ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà.
   Èíîãäà äëÿ ïðîñòîòû âìåñòî ¾÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê¿ áóäåì ãîâîðèòü ïðîñòî ¾ïîðÿäîê¿.
Ïðèìåð 3.2.   1. Îáà ïðåäïîðÿäêà èç ïðèìåðà 3.1 íå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòè÷íûìè ïîðÿäêàìè
     ââèäó îòñóòñòâèÿ ó íèõ ñâîéñòâà àíòèñèììåòðè÷íîñòè: (1) èç m | n è n | m ñëåäóåò
     íå m = n, à ëèøü |m| = |n|; (2) ñîâïàäåíèå ìíîæåñòâ íóëåé ôóíêöèé íå îçíà÷àåò
     ðàâåíñòâà ïîñëåäíèõ.
  2. Âàæíåéøèì ïðèìåðîì ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ íà ñî-
     âîêóïíîñòè ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà. Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî òàêàÿ ñîâî-
     êóïíîñòü óïîðÿäî÷åíà ïî âêëþ÷åíèþ.
   Äèàãîíàëüíîå îòíîøåíèå íà ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íå òîëü-
êî êàê ýêâèâàëåíòíîñòü, íî è êàê ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê. Ìíîæåñòâî ñ òàêèì ïîðÿäêîì
íàçûâàþò òðèâèàëüíî óïîðÿäî÷åííûì.
   Èç ïðåäïîðÿäêà ρ âñåãäà ìîæíî ïîñòðîèòü ïîðÿäîê, åñëè îòîæäåñòâèòü ýëåìåíòû, x
è y , äëÿ êîòîðûõ îäíîâðåìåííî xρy è yρx.
Òåîðåìà 3.1. Åñëè ¹  ïðåäïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå P , òî
 1) áèíàðíîå îòíîøåíèå ε íà P , îïðåäåëÿåìîå óñëîâèåì
                                   aεb ⇔ a ¹ b N b ¹ a
    ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ;
 2) áèíàðíîå îòíîøåíèå ≤ íà ôàêòîðìíîæåñòâå P/ε, îïðåäåëÿåìîå óñëîâèåì
                                   [ a ]ε ≤ [ b ]ε ⇔ a ¹ b
     ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì.

Страницы