Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

α∪β α β
½
αβ ∪ βα ⊆ α ∪ β,
α ∩ β
]
= M .
α β
(⇐)
α ∪ β
(α ∪ β) ∩ (α ∪ β)
]
= (α ∪ β) ∩ (α
]
∪ β
]
)
Dtr
=
= (α ∩ α
]
) ∪ (β ∩ β
]
) ∪ (β ∩ α
]
) ∪ (α ∩ β
]
) =
= M ∪ M ∪(α ∩ β
]
)
]
∪ (α ∩ β
]
) = M .
α
2
= α β
2
= β
(α ∪ β)
2
= (α ∪ β)(α ∪ β) = α
2
∪ αβ ∪ βα ∪ β
2
=
= (α ∪ β) ∪ (αβ ∪ βα) ⊆ α ∪ β.
(⇒) α∪β
αβ ∪ βα ⊆ α ∪ β
α ∪ β α ∩ β
]
⊆ M α ∩ β
]
M⊆ α ∩ β
]
α ∩ β
]
= M ¤
P = h P, v i P v
P
x v y y v x
h R, 6 i h N, 6 i h N, | i h 2
n
, 4 i h P(M), ⊆ i
A 6= ∅ h E(A), ⊆ i
A
h P, v i Q ⊆ P v|
Q
v
Q h Q, v|
Q
i Q
P P Q
48                                             Ãëàâà 3. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà


Òåîðåìà 3.2. Îáúåäèíåíèå α ∪ β ÷àñòè÷íûõ ïîðÿäêîâ α è β åñòü ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê,
åñëè è òîëüêî åñëè                   ½
                                         αβ ∪ βα ⊆ α ∪ β,
                                                                                              (3.1)
                                         α ∩ β] = M .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå ÷àñòè÷íûå ïîðÿäêè α è β íà íåêîòîðîì ìíî-
æåñòâå.
   (⇐) Ïóñòü óñëîâèÿ (3.1) âûïîëíåíû.

       R: Ðåôëåêñèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ α ∪ β ñëåäóåò èç ðåôëåêñèâíîñòè êàæäîãî èç ïî-
        ðÿäêîâ.

     AS: Âòîðîå ñâîéñòâî èç (3.1) îáåñïå÷èâàåò ðàâåíñòâà

                                                    Dtr
         (α ∪ β) ∩ (α ∪ β)] = (α ∪ β) ∩ (α] ∪ β ] ) =
                            = (α ∩ α] ) ∪ (β ∩ β ] ) ∪ (β ∩ α] ) ∪ (α ∩ β ] ) =
                                                      = M ∪ M ∪(α ∩ β ] )] ∪ (α ∩ β ] ) = M . (3.2)

       T: Ðåôëåêñèâíîñòü è ñèììåòðè÷íîñòü ïîðÿäêîâ âëå÷¼ò α2 = α è β 2 = β . Ñ ó÷¼òîì
        ïåðâîãî ñâîéñòâà èç (3.1) èìååì

         (α ∪ β)2 = (α ∪ β)(α ∪ β) = α2 ∪ αβ ∪ βα ∪ β 2 =
                                                   = (α ∪ β) ∪ (αβ ∪ βα) ⊆ α ∪ β. (3.3)

   (⇒) Ïóñòü α∪β  ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê. Òîãäà, â ñèëó åãî òðàíçèòèâíîñòè, ñïðàâåäëèâî
óñëîâèå (3.3), îòêóäà αβ ∪ βα ⊆ α ∪ β .
   Ïîñêîëüêó α ∪ β àíòèñèììåòðè÷íî, èç (3.2) ñëåäóåò, ÷òî α ∩ β ] ⊆ M. Íî α ∩ β ] 
÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê, è ïîýòîìó M⊆ α ∩ β ] , îòêóäà ñëåäóåò α ∩ β ] = M.             ¤


Îïðåäåëåíèå 3.3. Ïàðó P = h P, v i, ãäå P  íåïóñòîå ìíîæåñòâî, à v  ÷àñòè÷-
íûé ïîðÿäîê íà í¼ì, íàçûâàþò ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì (ñîêðàù¼ííî
¾÷.ó. ìíîæåñòâîì ¿).

    çàâèñèìîñòè îò ìîùíîñòè P ðàçëè÷àþò êîíå÷íûå è áåñêîíå÷íûå ÷.ó. ìíîæåñòâà.
×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, âñå èíòåðâàëû êîòîðîãî êîíå÷íû, íàçûâàåòñÿ ëî-
êàëüíî êîíå÷íûì.
   ×.ó. ìíîæåñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð íîâîãî òèïà àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû, à
èìåííî ìîäåëè. ÀÑ ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ, åñëè â íåé îòñóòñòâóþò îïåðàöèè íà íîñèòåëå, íî
èìåþòñÿ îòíîøåíèÿ íà í¼ì. Ëþáîå ìíîæåñòâî ìîæíî ïðåâðàòèòü â ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åí-
íîå, çàäàâ íà í¼ì íåêîòîðûé ïîðÿäîê. Íàïðèìåð, íà äâóõýëåìåíòíîì ìíîæåñòâå ìîæíî
ïîñòðîèòü 3 ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêà: òðèâèàëüíûé, x v y è y v x.
Ïðèìåð 3.4.   1. Ìîäåëè h R, 6 i, h N, 6 i, h N, | i, h 2n , 4 i è h P(M ), ⊆ i ñóòü ÷.ó. ìíî-
     æåñòâà, ïðè÷¼ì ïîñëåäíåå ñ÷èòàåòñÿ êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì ýòîãî ïîíÿòèÿ.
  2. Ñîâîêóïíîñòü ëó÷åé íà ïðÿìîé ñ îòíîøåíèåì âêëþ÷åíèÿ  ÷.ó. ìíîæåñòâî.
  3. Ïóñòü A 6= ∅. Ìîäåëü h E(A), ⊆ i åñòü ÷.ó. ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ðàçáèåíèé
     ìíîæåñòâà A, óïîðÿäî÷åííûõ ïî èçìåëü÷åíèþ.
   ßñíî, ÷òî åñëè h P, v i  ÷.ó. ìíîæåñòâî, Q ⊆ P è v|Q  ñóæåíèå îòíîøåíèÿ v íà
Q, òî è h Q, v|Q i  ÷.ó. ìíîæåñòâî.  ýòîì ñëó÷àå Q íàçûâàåì ÷.ó. ïîäìíîæåñòâîì
P è, äîïóñêàÿ íåêîòîðóþ âîëüíîñòü, ïîðÿäîê íà P è åãî ñóæåíèå íà Q áóäåì èíîãäà
îáîçíà÷àòü îäíèì è òåì æå ñèìâîëîì.

Страницы