Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

P v
1
v
2
v
1
⊆ v
2
x v
1
y x v
2
y
x, y ∈ P v
1
v
2
a b a b
B
3
3
{1, 2, 3} {1, 2, 3}
2
{1, 2} {1, 3} {2, 3} {2, 3} {1, 3} {1, 2}
1
{1} {2} {3} {1} {2} {3}
0
∅ ∅
a) b) c)
B
3
h(n) n
h(1) = 1 h(2) = 2 h(3) = 5
3.1. Ïðåäïîðÿäêè è ïîðÿäêè                                                                    49


   Åñëè íà ìíîæåñòâå P çàäàíû ïîðÿäêè v1 è v2 è v1 ⊆ v2 (èç x v1 y ñëåäóåò x v2 y
äëÿ âñåõ x, y ∈ P ), òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîðÿäîê v1 ñîäåðæèòñÿ â ïîðÿäêå v2 . Ïðè ïîñòðîå-
íèè ïîðÿäêà, ñîäåðæàùåãî äàííûé, ãîâîðÿò î ïðîäîëæåíèè ïîñëåäíåãî. Íàïðèìåð, òðè-
âèàëüíûé ïîðÿäîê íà íåîäíîýëåìåíòíîì ìíîæåñòâå ñîäåðæèòñÿ â ëþáîì äðóãîì è ìîæåò
áûòü ïðîäîëæåí äî íåãî.
   Äëÿ íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ êîíå÷íûõ ÷.ó. ìíîæåñòâ, èìåþùèõ íåáîëüøîå ÷èñëî
ýëåìåíòîâ, èñïîëüçóþò äèàãðàììû (Õàññå) 1 . Íà íèõ èçîáðàæàþò ýëåìåíòû ÷.ó. ìíîæåñòâ,
ïðè÷¼ì åñëè ýëåìåíò a ïðåäøåñòâóåò ýëåìåíòó b, òî a ðèñóþò íèæå b è ñîåäèíÿþò èõ
îòðåçêîì, åñëè ýòî ïðåäøåñòâîâàíèå íåïîñðåäñòâåííîå.
   Ñëåäóåò îòëè÷àòü äèàãðàììû Õàññå îò ïðåäñòàâëåíèÿ ÷.ó. ìíîæåñòâà â âèäå ãðàôà:
äëÿ ïîñëåäíèõ òðåáóåòñÿ ñîåäèíÿòü äóãîé (èëè ðåáðîì) ëþáóþ ïàðó ýëåìåíòîâ, óäîâëå-
òâîðÿþùóþ äàííîìó îòíîøåíèþ, â òî âðåìÿ êàê äëÿ ïåðâûõ ïðåäïîëàãàåòñÿ îòñóòñòâèå
ïåòåëü ó âåðøèí, òðàíçèòèâíîñòü ð¼áåðíûõ ñâÿçåé è îòîáðàæåíèå íàïðàâëåííîñòè ð¼áåð
âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì âåðøèí (âûøå èëè íèæå îäíà äðóãîé).
   Íà ðèñ. 3.1 ïðèâåäåíû äèàãðàììû Õàññå: íà a)  ÷åòûð¼õýëåìåíòîíîé öåïè (ñì. íèæå),
à íà b) è c)  áóëåàí òð¼õýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà (èëè B 3 ). Ïîñëåäíèå äâå èçîáðàæåíèÿ



         3
                                       [[
                               {1, 2, 3}
                                                                            [[
                                                                    {1, 2, 3}


                                   [[                                    [[
                                                             
         2
                        [[ {1, 3}[[ {2, 3}
                   {1, 2}
                                                              [[ {1, 3}[A[A{1, 2}
                                                         {2, 3}

                            [[      [[                          
                                                                  [   A A [
                                                                     A
                                                              AAA[A 
                                                                         [
                                  
         1          {1}
                          [[     {2}         {3}          {1}
                                                              [[ {2}           {3}

                               [[                              [[
                                                                           
                                                                      
         0                        ∅                                    ∅




         a)                       b)                                   c)


                                 Ðèñ. 3.1: Äèàãðàììû Õàññå

ïîêàçûâàþò, ÷òî äàííîãî ÷.ó. ìíîæåñòâà ìîæíî ïîñòðîèòü ìíîãî âèçóàëüíî îòëè÷àþùèõ-
ñÿ äðóã îò äðóãà äèàãðàìì. Ïî âîçìîæíîñòè, èõ ñòàðàþòñÿ ðèñîâàòü áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé.
Íà ðèñ. 3.1c) ïðèâåäåíî íåñòàíäàðòíîå èçîáðàæåíèå áóëåâîé àëãåáðû B 3 , èçîìîðôíîå â
òåîðåòèêî-ãðàôîâîì ñìûñëå èçîáðàæ¼ííîìó íà b).
    Ïóñòü h(n)  ÷èñëî íåèçîìîðôíûõ êàê ãðàôîâ äèàãðàìì n-ýëåìåíòíûõ ÷.ó. ìíî-
æåñòâ. ßñíî, íàïðèìåð, ÷òî h(1) = 1, h(2) = 2 è h(3) = 5 (äèàãðàììû òðèâèàëüíî
óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà è èçîáðàæ¼ííûå íà ðèñ. 3.2).
   1 Õåëüìóò Õàññå (Helmut Hasse, 18981979)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, àâòîð ôóíäàìåíòàëüíûõ ðàáîò ïî
àëãåáðå è òåîðèè ÷èñåë.

Страницы