Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ε
¹
≤ ¹
≤
¤
Ker ρ ρ
Ker ρ = ρ ∩ ρ
]
M
[n]
ε
= {n, −n} ≤ |
{Z r {0}}/ε = N
fεh ⇔ f h [f]
ε
≤ [h]
ε
⇔
[f]
ε
[h]
ε
v
6, 4 x v y x 6= y x @ y
@ ∩ @
]
= ∅
x v y x @ y
v
]
=w x w y
y v x
a b a v b b v a
a k b
ι
v
ι
@
ι
@
xι
@
y = x(@ ∩ A)y = ¬(x @ y) N¬(x A y) =
= ¬(y @ x) N¬(y A x) = y(@ ∩ A)x = yι
@
x.
¤
a v b a b b a
a { x | a v x Nx v b } [ a, b ]
[ a, b ] a v b [ a, b ] = { a, b } a
b b a
α β
α
]
α∩β αβ
3.1. Ïðåäïîðÿäêè è ïîðÿäêè                                                           47


Äîêàçàòåëüñòâî.
 1) Ñîãëàñíî ñâîåìó îïðåäåëåíèþ, îòíîøåíèå ε ïðèîáðåòàåò ñâîéñòâî ñèììåòðè÷íîñòè
    â äîïîëíåíèå ê ñâîéñòâàì ðåôëåêñèâíîñòè è òðàíçèòèâíîñòè, íàñëåäóåìûõ îò ¹.
 2) Ñâîéñòâà ðåôëåêñèâíîñòè è òðàíçèòèâíîñòè ≤ íàñëåäóþòñÿ îò îòíîøåíèÿ ¹. Â ñè-
    ëó îïðåäåëåíèÿ îòíîøåíèÿ ≤ îíî îêàçûâàåòñÿ åù¼ è àíòèñèììåòðè÷íûì.
                                                                                       ¤

   Ñîãëàñíî (2.5), ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ Ker ρ ïðåäïîðÿäêà ρ áóäåò åãî ñèììåò-
ðè÷åñêàÿ ÷àñòü Ker ρ = ρ ∩ ρ ] . ßäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà, â ñèëó
åãî àíòèñèììåòðè÷íîñòè, áóäåò äèàãîíàëüíîå îòíîøåíèå M.
Ïðèìåð 3.3. Äëÿ ïðèìåðà 3.1 â îáîçíà÷åíèÿõ òåîðåìû 3.1 ïîëó÷èì:
1) [n]ε = {n, −n} è ≤ åñòü îòíîøåíèå äåëèìîñòè | íà ôàêòîðìíîæåñòâå
     {Z r {0}}/ε = N ;
2) f εh ⇔ ìíîæåñòâî íóëåé ôóíêöèé f è h ñîâïàäàþò; [f ]ε ≤ [h]ε ⇔ ìíîæåñòâî íóëåé
     ëþáîé ôóíêöèè èç [f ]ε ñîäåðæèòñÿ âî ìíîæåñòâå íóëåé ëþáîé ôóíêöèè èç [h]ε .
   Îòíîøåíèÿ ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà áóäåì, êàê ïðàâèëî, îáîçíà÷àòü v, èíîãäà, âïðî÷åì,
óïîòðåáëÿÿ îáîçíà÷åíèÿ 6, 4 è ò.ä. Êîãäà x v y è x 6= y , òî áóäåì ïèñàòü x @ y è
ãîâîðèòü îá îòíîøåíèè ñòðîãîãî ïîðÿäêà. Ïîíÿòíî, ÷òî ñòðîãèé ïîðÿäîê òðàíçèòèâåí,
íî àíòèðåôëåêñèâåí (è íåñèììåòðè÷åí, ò.å. @ ∩ @] = ∅). Èíîãäà, äîïóñêàÿ íåêîòîðóþ
âîëüíîñòü ðå÷è, î ôîðìóëàõ x v y è x @ y ãîâîðÿò êàê î ¾íåðàâåíñòâàõ¿. ×àñòî óäîáíî
ðàññìàòðèâàòü äâîéñòâåííûå ÷àñòè÷íûå ïîðÿäêè: v] =w, ò.å. çàïèñü x w y îçíà÷àåò, ÷òî
y v x è àíàëîãè÷íî äëÿ ñòðîãîãî ïîðÿäêà.
   Ýëåìåíòû a è b ñðàâíèìû, åñëè ëèáî a v b, ëèáî b v a, è íåñðàâíèìû (ñèìâîëè÷å-
ñêè a k b) â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïîíÿòíî, ÷òî îòíîøåíèå íåñðàâíèìîñòè äëÿ ÷àñòè÷íîãî
ïîðÿäêà åñòü ιv , à äëÿ ñòðîãîãî  ι@ .
Óòâåðæäåíèå 3.1.       1. Îòíîøåíèå ñðàâíèìîñòè äëÿ ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà åñòü ýêâè-
        âàëåíòíîñòü.
     2. Îòíîøåíèå íåñðàâíèìîñòè äëÿ ñòðîãîãî ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà åñòü îòíîøåíèå òî-
        ëåðàíòíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî.
     1. Îòíîøåíèå ñðàâíèìîñòè äëÿ ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà, î÷åâèäíî, ðåôëåêñèâíî, ñèììåò-
        ðè÷íî è òðàíçèòèâíî.
     2. Ðåôëåêñèâíîñòü íåñðàâíèìîñòè äëÿ ñòðîãîãî ïîðÿäêà ñëåäóåò èç àíòèðåôëåêñèâíî-
        ñòè ïîñëåäíåãî. Ñèììåòðè÷íîñòü ι@ äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì âûâîäîì:

         xι@ y = x(@ ∩ A)y = ¬(x @ y) N ¬(x A y) =
                                          = ¬(y @ x) N ¬(y A x) = y(@ ∩ A)x = yι@ x.

                                                                                       ¤

     Åñëè a v b, òî ãîâîðÿò, ÷òî a ïðåäøåñòâóåò b èëè b ñëåäóåò çà a èëè ñîäåðæèò
a. Ìíîæåñòâî { x | a v x N x v b } íàçûâàþò èíòåðâàëîì è îáîçíà÷àþò [ a, b ]. Èíòåðâàë
[ a, b ] íåïóñò, åñëè a v b. Åñëè [ a, b ] = { a, b }, òî ãîâîðÿò, ÷òî a íåïîñðåäñòâåííî
ïðåäøåñòâóåò b è ÷òî b íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò çà a.
     Âûÿñíèì ñòàáèëüíîñòü ïîðÿäêîâ îòíîñèòåëüíî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé è
ñïåöèàëüíûõ îïåðàöèé íàä îòíîøåíèÿìè. Èç òåîðåì 2.4 è 2.5 ñëåäóåò, ÷òî åñëè α è β 
ïîðÿäêè, òî α] è α∩β  òàêæå ïîðÿäêè, à ïðîèçâåäåíèå αβ , âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ
ïîðÿäêîì. Îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ ïîðÿäêîâ èìååò ìåñòî

Страницы