Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ : A → B
∼ A ∼ ⊆ Ker ϕ ϕ = π ∗ χ
π = nat(A, ∼)
Ker ϕ
A
α β β ⊆ α
ϕ : A/β → A/α ψ : (A/β)/(α/β) → A/α
A
A/β A/α
(A/β)/(α/β)
nat β
nat α
ϕ
nat (α/β)
ψ
ϕ ϕ([a]
β
) = [a]
α
[a]
β
[a]
α
ϕ ψ([[a]
β
]
α/β
) = ϕ([a]
β
) = [a]
α
¤
2.6. Îòîáðàæåíèÿ è èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà                                            45


   Èç äàííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ : A → B è ýêâèâàëåíò-
íîñòè ∼ íà A òàêîé, ÷òî ∼ ⊆ Ker ϕ, ñïðàâåäëèâî îáîáù¼ííîå ðàçëîæåíèå ϕ = π ∗ χ,
ãäå π = nat(A, ∼)  íàëîæåíèå. Òàêîå ðàçëîæåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå åäèíñòâåííî, ïî-
ñêîëüêó âîçìîæíû ðàçëè÷íûå èçìåëü÷åíèÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòåé ïî Ker ϕ. Èíîãäà
äàííóþ òåîðåìó êîðîòêî ôîðìóëèðóþò êàê óòâåðæäåíèå î âîçìîæíîñòè ôàêòîðèçàöèè
ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ ïî ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèéñÿ â åãî ÿäðå.
   Èç îñíîâíîãî ñâîéñòâà îòîáðàæåíèé âûòåêàåò
Òåîðåìà 2.24 (Î äðîáíûõ ýêâèâàëåíòíîñòÿõ). Ïóñòü äàíî ìíîæåñòâî A è ýê-
âèâàëåíòíîñòè α, β íà í¼ì òàêèå, ÷òî β ⊆ α. Òîãäà ñóùåñòâóþò îòîáðàæåíèå
ϕ : A/β → A/α è áèåêöèÿ ψ : (A/β)/(α/β) → A/α òàêèå, ÷òî äèàãðàììà

                                           A '
                                       [ [     ''nat α
                                  [^[[ ϕ           '')
                                 nat β



                            A/β
                                  ''                  w A/α
                                       '          [ ][
                             nat (α/β)  )
                                        '       [
                                              [^ ψ
                                         (A/β)/(α/β)

êîììóòàòèâíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàäàäèì ôóíêöèþ ϕ ïðàâèëîì ϕ([a]β ) = [a]α . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî
òàêîå çàäàíèå êîððåêòíî, ò.ê. êàæäîìó êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè [a]β ñîîòâåòñòâóåò åäèí-
ñòâåííûé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè [a]α . Äàëåå ïðèìåíèì òåîðåìó 2.22 ê íèæíåé ÷àñòè äèà-
ãðàììû. Ïîñêîëüêó ϕ, êàê ëåãêî âèäåòü, íàêðûòèå, òî ψ([[a]β ]α/β ) = ϕ([a]β ) = [a]α 
áèåêöèÿ.                                                                             ¤

Страницы