Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f
]
(y) y ∈ Y x ∈ f
]
(y)
g
1
(y) = g
1
(f(x)) = g
2
(f(x)) = g
2
(y) ,
y g
1
= g
2
(⇐) g
1
, g
2
Y Z
f ¦ g
1
= f ¦ g
2
⇔ g
1
= g
2
f
y Y r Im(f) Y y
0
6= Y
g
2
: Y → Y
g
1
(t) =
½
t t 6= y
y
0
t = y,
g
1
6= id
Y
f ¦ g
1
6= f ¦ id
Y
x ∈ X
g
1
(f(x)) = f(x) = id
Y
(f(x)).
¤
A B
θ
1
A B θ
2
B
A A B
A
0
= A Im(θ
2
) = A
1
A
0
⊃ A
1
Im(θ
1
) ⊂ B A
B
θ = θ
1
∗ θ
2
A
0
A
2
A
1
⊃ A
2
θ(A
i
) = A
i+2
i = 0, 1, 2 . . .
A A = A
0
⊃ A
1
⊃ A
2
⊃ . . .
C
i
= A
i
r A
i+1
i = 0, 1, 2 . . . C =
T
i>0
A
i
C
0
, C
2
, C
4
, . . . θ
C
2i+2
= θ(A
2i
) r θ(A
2i+1
) = θ(C
2i
)
ϕ A
0
A
1
ϕ(x) =
½
θ(x), x ∈ C
2i
, i = 0, 1, . . .
x,
A
ϕ
→ A
1
θ
−1
2
→ B ϕ ∗ θ
−1
2
¤
∼ A π : A → A/∼
a ∈ A π(a) = [a]
∼
nat(A, ∼) nat(∼ )
A nat(∼)
π(a) a
x
42                                                           Ãëàâà 2. Îòíîøåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ.


ñëåäóåò íåïóñòîòà f ] (y) äëÿ ëþáîãî y ∈ Y . Ïóñòü x ∈ f ] (y)7 . Òîãäà

                              g1 (y) = g1 (f (x)) = g2 (f (x)) = g2 (y) ,

÷òî â âèäó ïðîèçâîëüíîñòè ýëåìåíòà y âëå÷¼ò g1 = g2 .
    (⇐) Ïóñòü äëÿ ëþáûõ äâóõ îòîáðàæåíèé g1 , g2 èç Y â Z ñïðàâåäëèâà ðàâíîñèëü-
íîñòü f ¦ g1 = f ¦ g2 ⇔ g1 = g2 , íî f íå ÿâëÿåòñÿ íàëîæåíèåì. Òîãäà íàéä¼òñÿ ýëåìåíò
y èç îáëàñòè Y r Im(f ). Çàôèêñèðóåì â Y ýëåìåíò y0 6= Y è ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå
g2 : Y → Y , îïðåäåëÿåìîå óñëîâèåì
                                       ½
                                         t    åñëè t 6= y
                              g1 (t) =
                                         y0 åñëè t = y,

ßñíî, ÷òî g1 6= idY , â ñèëó ÷åãî f ¦ g1 6= f ¦ idY . Îäíàêî äëÿ âñåõ x ∈ X èìååì

                                   g1 (f (x)) = f (x) = idY (f (x)).

Ïðîòèâîðå÷èå.                                                                                        ¤

     Ñ ïîìîùüþ áèåêöèé îïèñûâàþòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ.
Òåîðåìà 2.20 (Êàíòîðà-Øð¼äåðà-Áåðíøòåéíà8 ). Åñëè äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ A è B
ñóùåñòâóþò áèåêöèè θ1 ìåæäó A è ïîäìíîæåñòâîì B è θ2 ìåæäó B è ïîäìíîæå-
ñòâîì A, òî ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ìåæäó A è B .
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì A0 = A è Im(θ2 ) = A1 . ßñíî, ÷òî ìîæíî ñ÷èòàòü A0 ⊃ A1 è
Im(θ1 ) ⊂ B , èíà÷å òåîðåìà òðèâèàëüíî ñïðàâåäëèâà. Òàêæå ÿñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå A è
B  áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà.
   Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå îòîáðàæåíèé, óêàçàííûõ â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû, äà-
¼ò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå θ = θ1 ∗ θ2 ìíîæåñòâà A0 íà ñâî¼ ïîäìíîæåñòâî
A2 è A1 ⊃ A2 . Îáîçíà÷èì θ(Ai ) = Ai+2 , i = 0, 1, 2 . . .. Ïîëó÷èì öåïî÷êó ñòðîãî ñîäåð-
æàùèõñÿ äðóã â äðóãå ïîäìíîæåñòâ A: A = A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ .T           . ..
   Îáîçíà÷èì Ci = Ai r Ai+1 , i = 0, 1, 2 . . . è C =                 i>0 Ai . Ïî ïîñòðîåíèþ
ìåæäó ìíîæåñòâàìè C0 , C2 , C4 , . . . ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå θ:
C2i+2 = θ(A2i ) r θ(A2i+1 ) = θ(C2i ).
   Ïîñòðîèì òåïåðü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ϕ ìåæäó A0 è A1 . Ïîëîæèì
                        ½
                           θ(x), åñëè x ∈ C2i , i = 0, 1, . . .
                ϕ(x) =                                          (ñì. ðèñ. 2.7).
                           x,    èíà÷å

                                                                            ϕ     θ−1
 Òàêèì îáðàçîì, èìååì âçàèìíî îäíîçíà÷íûå ñîîòâåòñòâèÿ A → A1 →
                                                              2
                                                                B è ϕ ∗ θ2−1 
èñêîìàÿ áèåêöèÿ.                                                             ¤

   Ïóñòü ∼  ýêâèâàëåíòíîñòü íà A. Òîãäà ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ π : A → A/∼, ñòàâÿ-
ùàÿ â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó a ∈ A åãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ò.å. π(a) = [a]∼ .
Òàêîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííûì (êàíîíè÷åñêèì, íàòóðàëüíûì). Êàíîíè-
÷åñêîå îòîáðàæåíèå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü nat(A, ∼) èëè ïðîñòî nat(∼), åñëè ìíîæåñòâî
A ôèêñèðîâàíî ïðè äàííîì ðàññìîòðåíèè. Ïîíÿòíî, ÷òî nat(∼)  íàëîæåíèå.
Ïðèìåð 2.14. Äëÿ ïðèìåðà 2.2 èìååì:
     1. π(a)  ìåøîê, â êîòîðîì ëåæèò çåðíî a;
     7 Çàìåòèì, ÷òî âîçìîæíîñòü óêàçàíèÿ òàêîãî    x ýêâèâàëåíòíà ïðèíÿòèþ àêñèîìû âûáîðà (ñì. ï. 3.4).
     8 Òåîðåìà áûëà ïðèâåäåíà áåç äîêàçàòåëüñòâà   â ðàáîòå Êàíòîðà 1883 ã. è äîêàçàíà ïîçäíåå Øð¼äåðîì
è Áåðíøòåéíîì.

Страницы