Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
1
f
(10000) (01100) (00111) f
e
1 = (11111)
N
1
f
h {1, 2, 3, 4, 5, 6}, | i
4 6
2 3 5
1
h P(A), ⊆ i
∅ A
h P
∗
(A), ⊆ i |A| > 1
P
0
(A)
A h P
0
(A), ⊆ i
h C, 6 i A
B a < b a ∈ A b ∈ B
x v y ⇔ x = x u y
0|0 h N
0
, | i
3.2. Èçîòîííûå îòîáðàæåíèÿ è ïîðÿäêîâûå èäåàëû                                     53


     Äëÿ Nf1 íèæíèå åäèíèöû (10000), (01100) è (00111) ôóíêöèè f áóäóò ìèíè-
     ìàëüíûìè ýëåìåíòàìè, e
                          1 = (11111)  ìàêñèìàëüíûì è íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì, à
     íàèìåíüøèé ýëåìåíò â Nf1 îòñóòñòâóåò.
  2. ×.ó. ìíîæåñòâî h {1, 2, 3, 4, 5, 6}, | i èìååò ñëåäóþùóþ äèàãðàììó:

                         4   [[            [[
                                             6

                               [[             [[
                                   
                                 2 [                 3   A 5
                                     [             AA A
                                       [[         A A
                                              
                                            AAA A
                                          1

     Çäåñü 1  íàèìåíüøèé ýëåìåíò, 4, 5 è 6  ìàêñèìàëüíûå, à íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà
     íåò.
  3.  îãðàíè÷åííîì ÷.ó. ìíîæåñòâå h P(A), ⊆ i íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì ÿâëÿåòñÿ ïóñòîå
     ìíîæåñòâî ∅, à íàèáîëüøèì  ñàìî ìíîæåñòâî A.
     Â ÷.ó. ìíîæåñòâå h P ∗ (A), ⊆ i ïðè |A| > 1 íåò íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà, à ìèíèìàëü-
     íûìè ÿâëÿþòñÿ âñå îäíîýëåìåíòíûå ïîäìíîæåñòâà.
     Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç P0 (A) ñîâîêóïíîñòü âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ áåñêî-
     íå÷íîãî ìíîæåñòâà A.  ÷.ó. ìíîæåñòâå h P0 (A), ⊆ i íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì áóäåò
     ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî, à ìàêñèìàëüíûõ (ñëåäîâàòåëüíî, è íàèáîëüøåãî) ýëåìåíòîâ
     íåò.

   Ñå÷åíèåì öåïè h C, 6 i íàçûâàþò ðàçáèåíèå å¼ íà äâà ïîäìíîæåñòâà A (íèæíèé
êëàññ ñå÷åíèÿ) è B (âåðõíèé êëàññ ñå÷åíèÿ) òàê, ÷òî a < b äëÿ ëþáûõ a ∈ A è b ∈ B .
Ðàçëè÷àþò ñëåäóþùèå âèäû ñå÷åíèé:

   ˆ ñêà÷îê  â íèæíåì êëàññå èìååòñÿ íàèáîëüøèé ýëåìåíò, à â âåðõíåì êëàññå 
     íàèìåíüøèé;
   ˆ äåäåêèíäîâî ñå÷åíèå  â íèæíåì [ âåðõíåì ] êëàññå èìååòñÿ íàèáîëüøèé
     [ íàèìåíüøèé ] ýëåìåíò, à â âåðõíåì [ íèæíåì ] êëàññå íàèìåíüøåãî [ íàèáîëüøåãî ]
     ýëåìåíòà íåò;
   ˆ ùåëü  â íèæíåì êëàññå íåò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà, à â âåðõíåì  íàèìåíüøåãî.

Öåïü íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè âñå å¼ ñå÷åíèÿ äåäåêèíäîâû.
   Åñëè ÷.ó. ìíîæåñòâî èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò, òî ýëåìåíòû, íåïîñðåäñòâåííî ñëå-
äóþùèå çà íèì, íàçûâàþò àòîìàìè. Ïîíÿòíî, ÷òî òàêîâûõ ìîæåò è íå îêàçàòüñÿ. Ëåãêî
ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äàííîå îïðåäåëåíèå àòîìà ÷.ó. ìíîæåñòâà ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëåíèåì 1.4
àòîìà áóëåâîé àëãåáðû, åñëè â íåé ïðèíÿòü x v y ⇔ x = x u y (ñì. óòâåðæäåíèå 5.6).
   Äâîéñòâåííî îïðåäåëÿþòñÿ äóàëüíûå àòîìû èëè êîàòîìû èëè àíòèàòîìû : ýòî ýëå-
ìåíòû, íåïîñðåäñòâåííî ïðåäøåñòâóþùèå íàèáîëüøåìó ýëåìåíòó (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
òàêîâîé ñóùåñòâóåò).
Ïðèìåð 3.6.   1. Êîíå÷íàÿ íåòðèâèàëüíàÿ öåïü ñîäåðæèò åäèíñòâåííûå àòîì è êîàòîì.
  2. Ïîëîæèì, ÷òî 0|0. Òîãäà â ÷.ó. ìíîæåñòâå h N0 , | i íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì ÿâëÿåòñÿ
     1, íàèáîëüøèì  0, àòîìû ñóòü ïðîñòûå ÷èñëà, à êîàòîìû îòñóòñòâóþò.

Страницы