Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

h P, v i ∅ 6= A ⊆ P A
M
A
O
A
M
=
©
x ∈ P |
∀
A
a ( a v x)
ª
A
O
=
©
x ∈ P |
∀
A
a ( x v a)
ª
A
A
A = {a} a
M
a
O
P
P
h P, v i
A, B ⊆ P x, y ∈ P
A ⊆ B ⇒ B
O
⊆ A
O
B
M
⊆ A
M
A ⊆ A
MO
∩ A
OM
A
M
= A
MOM
A
O
= A
OMO
(A ∪ B)
M
= A
M
∩ B
M
(A ∪ B)
O
= A
O
∩ B
O
x v y ⇔ x
O
⊆ y
O
y
M
⊆ x
M
x ∈ A y ∈ A
M
x v y A ⊆ A
MO
A ⊆ A
OM
A
M
(2)
⊆ (A
M
)
OM
= (A
MO
)
M
(1)
⊆ A
M
(A ∪ B)
M
⊆ A
M
∩ B
M
x ∈ A
M
∩ B
M
y v x
y ∈ A y ∈ B
A
M
A
M
∩ B
M
B
M
A B
A
O
A
O
∩ B
O
B
O
54                                              Ãëàâà 3. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà


3.2 Èçîòîííûå îòîáðàæåíèÿ è ïîðÿäêîâûå èäåàëû
Îïðåäåëåíèå 3.6. Ïóñòü h P, v i  ÷.ó. ìíîæåñòâî è ∅ 6= A ⊆ P . Ìíîæåñòâà AM è AO
îïðåäåëÿåìûå óñëîâèÿìè
                      ©                     ª       ©                     ª
               AM =    x ∈ P | ∀ a ( a v x)   è AO = x ∈ P | ∀ a ( x v a)
                                A                                   A

íàçûâàþòñÿ âåðõíèì è íèæíèì êîíóñàìè ìíîæåñòâà A , à èõ ýëåìåíòû  âåðõíèìè
è íèæíèìè ãðàíÿìè ìíîæåñòâà A ñîîòâåòñòâåííî. Âåðõíèé [ íèæíèé ] êîíóñ îäíîýëå-
ìåíòíîãî ìíîæåñòâà A = {a} îáîçíà÷àþò aM [ aO ].
   Âåðõíèì è íèæíèì êîíóñàìè ïóñòîãî ïîäìíîæåñòâà ýëåìåíòîâ P ñ÷èòàþò ñàìî ìíî-
æåñòâî P .

Òåîðåìà 3.4 (Îñíîâíûå ñâîéñòâà âåðõíåãî è íèæíåãî êîíóñîâ). Ïóñòü h P, v i 
÷.ó. ìíîæåñòâî, A, B ⊆ P è x, y ∈ P . Òîãäà

     1) A ⊆ B ⇒ B O ⊆ AO è B M ⊆ AM (àíòèìîíîòîííîñòü êîíóñîâ ïîäìíîæåñòâ ïî
        âêëþ÷åíèþ);
     2) A ⊆ AMO ∩ AOM ;
     3) AM = AMOM ;
     4) AO = AOMO ;
     5) (A ∪ B)M = AM ∩ B M ;
     6) (A ∪ B)O = AO ∩ B O ;
     7) x v y ⇔ xO ⊆ y O è y M ⊆ xM .

Äîêàçàòåëüñòâî.

1) Ýòî ñâîéñòâî (àíòèìîíîòîííîñòü îïåðàöèé ïåðåõîäà ê âåðõíåìó è íèæíåìó êîíóñàì
    ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâ) âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ.
2) Òàê êàê äëÿ ëþáûõ x ∈ A è y ∈ AM ñïðàâåäëèâî x v y , òî A ⊆ AMO . Àíàëîãè÷íî
    ïîêàçûâàåòñÿ A ⊆ AOM , îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìîå.
              (2)                    (1)
3), 4)    AM ⊆ (AM )OM = (AMO )M ⊆ AM è àíàëîãè÷íî äëÿ (4).
5), 6) Âêëþ÷åíèå (A ∪ B)M ⊆ AM ∩ B M âûòåêàåò èç (1). Åñëè æå x ∈ AM ∩ B M , òî y v x
      äëÿ âñåõ y ∈ A è y ∈ B , îòêóäà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ñâîéñòâà (5).
         Àíàëîãè÷íî äëÿ (6). Èëëþñòðàöèåé ê äàííûì ñâîéñòâàì ñëóæèò ñëåäóþùàÿ ñõåìà

                                AM               AM ∩ B M
                                                         AAA        BM
                                                                         AAA
                                                    AA A
                                                                   A AAA
                                               AA A             AA
                                  AA                   AA
                                           A                B

                             A A A                  A A
                           A                  A   A
                       AAA      AO         AAAAO ∩ B O              BO

7) Ñâîéñòâî (ìîíîòîííîñòü è àíòèìîíîòîííîñòü îïåðàöèé âçÿòèÿ ñîîòâåòñòâåííî ãëàâíî-
    ãî èäåàëà è ãëàâíîãî ôèëüòðà) ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé. Èëëþñòðàöèåé çäåñü

Страницы