Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y
M
x
M
y
x
y
O
x
O
¤
A
M
A sup A A
O
A inf A
P = {a, b, c, d} P
d d
c c
a
b
a
b
A = {a, b} A
M
= {c, d} sup A
sup A = c
d a b
˜α h 2
n
, 4 i
˜α
M
= [ ˜α,
e
1 ], ˜α
O
= [
e
0, ˜α ]; sup ˜α = inf ˜α = ˜α.
h P, v i A ⊆ B ⊆ P sup A sup B
inf A inf B sup A v sup B inf A w inf B
S
sup S inf S
S
P P
0
x, y
P ϕ : P → P
0
x v y ⇒ ϕ(x) v ϕ(y)
ϕ(x) v ϕ(y) ⇒ x v y
x v y ⇒ ϕ(x) w ϕ(y)
3.2. Èçîòîííûå îòîáðàæåíèÿ è ïîðÿäêîâûå èäåàëû                                              55


     ñëóæèò ñõåìà
                                                                          yM
                                                                                  AAA
                                                       A A                      A
                                                   A A
                                                y A    A
                               xM
                                            A A     A A
                                       A A A AAA
                                    A A AAA
                                  A
                                 A Ax                   yO
                                 A AA
                            AA A
                       AA          xO
                                                                                            ¤


Îïðåäåëåíèå 3.7. Åñëè â AM ñóùåñòâóåò íàèìåíüøèé ýëåìåíò, òî îí íàçûâàåòñÿ òî÷íîé
âåðõíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àåòñÿ sup A. Åñëè â AO ñóùåñòâóåò íàèáîëüøèé
ýëåìåíò, òî îí íàçûâàåòñÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àåòñÿ inf A.

   ÷àñòíîñòè, òî÷íîé âåðõíåé [ íèæíåé ] ãðàíüþ ïóñòîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ íàèìåíü-
øèé [ íàèáîëüøèé ] ýëåìåíò ÷.ó. ìíîæåñòâà.
Ïðèìåð 3.7. 1. Ïóñòü P = {a, b, c, d} è äâà ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêà íà P çàäàþòñÿ ñëå-
    äóþùèìè äèàãðàììàìè:

                                   d4                                      d4

                                hhh 44
                                        4
                                                                           h h 44
                                                                        hhh c [ 44
                                                                                  4
                             hhh  c [[ 44
                                       4
                                                                            [[4
                          hh
                                       [4                         hhh           4
                      a                          b             a                        b

     Äëÿ A = {a, b} èìååì AM = {c, d} â îáîèõ ñëó÷àÿõ, íî â ïåðâîì ñëó÷àå sup A
     îòñóòñòâóåò, à âî âòîðîì sup A = c (ñòðîãî ãîâîðÿ, âòîðàÿ äèàãðàììà íå åñòü äèà-
     ãðàììà Õàññå: ëèíèè, ñîåäèíÿþùèå d ñ a è b çäåñü èçëèøíè).
  2. Äëÿ ýëåìåíòà α̃ ÷.ó. ìíîæåñòâà h 2n , 4 i èìååì

                    α̃M = [ α̃, e
                                1 ],        α̃O = [ e
                                                    0, α̃ ];       sup α̃ = inf α̃ = α̃.

  3. Ïóñòü h P, v i  ÷.ó. ìíîæåñòâî è A ⊆ B ⊆ P . Åñëè ñóùåñòâóþò sup A è sup B
     ( inf A è inf B ), òî sup A v sup B (inf A w inf B ).
  4. Åñëè S  ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, òî, ïî âêëþ÷åíèþ,
     sup S ñîâïàäàåò ñ îáúåäèíåíèåì, à inf S  ñ ïåðåñå÷åíèåì âñåõ ïîäìíîæåñòâ èç
     ñîâîêóïíîñòè S .
Îïðåäåëåíèå 3.8. Ïóñòü P è P 0  ÷.ó. ìíîæåñòâà è x, y  ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû
èç P . Îòîáðàæåíèå ϕ : P → P   0
                                   íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî
   ˆ èçîòîííûì îòîáðàæåíèåì, åñëè x v y ⇒ ϕ(x) v ϕ(y), èçîòîííûå îòîáðàæåíèÿ
     íàçûâàþò òàêæå ìîíîòîííûìè èëè ïîðÿäêîâûìè ãîìîìîðôèçìàìè ;
   ˆ îáðàòíî èçîòîííûì îòîáðàæåíèåì, åñëè ϕ(x) v ϕ(y) ⇒ x v y ;
   ˆ àíòèèçîòîííûì, åñëè x v y ⇒ ϕ(x) w ϕ(y).

Страницы