Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x
O
x
M
x P
J(x) = x
O
P
J(P ) P = n
n J(n)
∼
=
n + 1 P n
P J(P )
P J(P )
∼
=
2
n
S
x∈P
J(x) P
J
0
(P ) J
0
(P ) J(P )
h P, v i ϕ(x) = x
O
P J
0
(P )
ϕ
ϕ(x) = ϕ(y) ⇔ (x
O
= y
O
) ⇔ (x ∈ y
O
) N (y ∈ x
O
) ⇔
⇔ (x v y) N (y v x) ⇔ x = y ,
ϕ x
O
x ϕ
ϕ
x v y ⇔ x
O
⊆ y
O
⇔ ϕ(x) ⊆ ϕ(y) .
P
∼
=
J
0
(P ) → J(P ) → P(P )
¤
P
ϕ
∼
=
J
0
(P ) , ϕ(x) = x
O
M
I
I =
S
a∈M
a
O
A I
A I A = {a
1
, . . . , a
k
}
I = ha
1
, . . . , a
k
i I J(a) = hai
P
J(P ) J
0
(P )
P
∼
=
J
0
(P ) J(P )
P
3.3. Îïåðàöèè íàä ÷.ó. ìíîæåñòâàìè. Ðàçìåðíîñòü                                           57


çà íèì. Ïîðÿäêîâûå èäåàëû [ ôèëüòðû ] íàçûâàþò òàêæå ïîëóèäåàëàìè èëè íèæíèìè
ìíîæåñòâàìè [ ïîëóôèëüòðàìè, âåðõíèìè ìíîæåñòâàìè ].
   ßñíî, ÷òî îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ åñòü ïîðÿäêîâûé èäåàë.
Î÷åâèäíî, xO è xM äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ÷.ó. ìíîæåñòâà P ÿâëÿþòñÿ ïîðÿäêîâû-
ìè èäåàëîì è ôèëüòðîì ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèå èäåàëû è ôèëüòðû íàçûâàþò ãëàâíûìè.
Äàëåå èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå J(x) = xO .
   Ìíîæåñòâî âñåõ ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ÷.ó. ìíîæåñòâà P , óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ,
îáðàçóåò ÷.ó. ìíîæåñòâî, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü J(P ). Íàïðèìåð, åñëè P = n 
n-ýëåìåíòíàÿ öåïü, òî J(n) ∼= n + 1.  äðóãîì êðàéíåì ñëó÷àå, åñëè P  n-ýëåìåíòíàÿ
àíòèöåïü, òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâî â P åñòü åãî ïîðÿäêîâûé èäåàë, J(P ) áóäåò áóëåàíîì
P è J(P ) ∼
          = 2n . S
   Ñîâîêóïíîñòü x∈P J(x) âñåõ ãëàâíûõ ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ÷.ó. ìíîæåñòâà P , óïî-
ðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ, â ñâîþ î÷åðåäü îáðàçóåò ÷.ó. ìíîæåñòâî, êîòîðîå ìû áóäåì
îáîçíà÷àòü J0 (P ). Ïîíÿòíî, ÷òî J0 (P ) îáðàçóåò ÷.ó. ïîäìíîæåñòâî J(P ).
Òåîðåìà 3.6 (Î ïðåäñòàâëåíèè ÷.ó. ìíîæåñòâ). Ëþáîå ÷.ó. ìíîæåñòâî ìîæåò
áûòü âëîæåíî â áóëåàí ïîäõîäÿùåãî ìíîæåñòâà, óïîðÿäî÷åííûé ïî âêëþ÷åíèþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü h P, v i  ÷.ó. ìíîæåñòâî. Äîêàæåì, ÷òî ϕ(x) = xO áóäåò èçî-
ìîðôèçìîì ìåæäó P è J0 (P ).
   Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ϕ  áèåêöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî,

    ϕ(x) = ϕ(y) ⇔ (xO = y O ) ⇔ (x ∈ y O ) N (y ∈ xO ) ⇔
                                                           ⇔ (x v y) N (y v x) ⇔ x = y ,

ò.å. ϕ  âëîæåíèå. Òàêæå î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîìó ãëàâíîìó èäåàëó xO ñîîòâåòñòâóåò
ïîðîæäàþùèé åãî ýëåìåíò x è ïîýòîìó ϕ  íàëîæåíèå.
    Èçîòîííîñòü è îáðàòíàÿ èçîòîííîñòü ϕ óñòàíàâëèâàåòñÿ ï. 7) òåîðåìû 3.4:

                            x v y ⇔ xO ⊆ y O ⇔ ϕ(x) ⊆ ϕ(y) .

Òàêèì îáðàçîì, P ∼
                 = J0 (P ) ,→ J(P ) ,→ P(P ) (îáà ïîñëåäíèõ âëîæåíèÿ  åñòåñòâåííûå).
¤
                                                  ϕ
   Çàìåòèì, ÷òî óñòàíîâëåííûé èçîìîðôèçì P ∼         = J0 (P ) , ϕ(x) = xO ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ
ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ÷.ó. ìíîæåñòââ.
   Ïîä÷åðêí¼ì âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó åãî àíèòöåïÿìè è ïîðÿäêîâûìè
èäåàëàìè êîíå÷íîãî ÷.ó. ìíîæåñòâà. Äåéñòâèòåëüíî, ñ îäíîé ñòîðîíû, ìíîæåñòâî M
ìàêñèìàëüíûõ
     S                ýëåìåíòîâ èäåàëà I åñòü àíòèöåïü (âîçìîæíî, òðèâèàëüíàÿ), à ñ äðóãîé 
                 O
I = a∈M a . Åñëè íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî A ÷.ó. ìíîæåñòâà è åãî èäåàë I ñâÿçàíû
òàêèì ñîîòíîøåíèåì, òî ãîâîðÿò, ÷òî A ïîðîæäàåò I .  ñëó÷àå A = {a1 , . . . , ak } ïèøóò
I = ha1 , . . . , ak i è ãîâîðÿò, ÷òî èäåàë I êîíå÷íîïîðîæä¼ííûé. ßñíî, ÷òî J(a) = hai.
Ïðèìåð 3.9. Íà ðèñ. 3.5 ïîêàçàíû äèàãðàììû ÷åòûð¼õýëåìåíòíîãî ÷.ó. ìíîæåñòâà P è
ìíîæåñòâà åãî ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ J(P ). Ìíîæåñòâî J0 (P ) âûäåëåíî æèðíûì øðèô-
òîì. Î÷åâèäíî P ∼        = J0 (P ). Êàæäîìó ïîðÿäêîâîìó èäåàëó èç J(P ) ñîîòâåòñòâóåò àíòè-
öåïü P , åãî ïîðîæäàþùàÿ.


3.3 Îïåðàöèè íàä ÷.ó. ìíîæåñòâàìè. Ðàçìåðíîñòü
   Äëÿ ÷.ó. ìíîæåñòâ ìîæíî îïðåäåëèòü ðàçëè÷íûå îïåðàöèè. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç
íèõ.

Страницы