Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

h P, v
P
i h Q, v
Q
i
P +Q P ∪Q
v x v y x v
P
y x v
Q
y
P + Q
∼
=
P + R ⇒ Q
∼
=
R .
n P nP n
n1
h P, v
P
i h Q, v
Q
i
P ⊕Q
P ∪ Q v x v y x v
P
y
x v
Q
y x ∈ P y ∈ Q
P
n
P n
1 ⊕ . . . ⊕ 1 n
P ⊕Q
P Q
P Q
◦
◦ ◦
◦ ◦
◦ ◦
Z
4
⊕ Z
3
3.3. Îïåðàöèè íàä ÷.ó. ìíîæåñòâàìè. Ðàçìåðíîñòü                                  59


Ïðÿìàÿ ñóììà. Åñëè h P, vP i è h Q, vQ i  äâà ÷.ó. ìíîæåñòâà ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ
íîñèòåëÿìè, òî èõ ïðÿìîé èëè êàðäèíàëüíîé ñóììîé P +Q íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî P ∪Q
ñ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì v òàêèì, ÷òî x v y êîãäà ëèáî x vP y , ëèáî x vQ y .
   Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

                            P +Q ∼
                                 = P +R ⇒ Q ∼
                                            = R.

   Ïðÿìàÿ ñóììà n ÷.ó. ìíîæåñòâ P îáîçíà÷àåòñÿ nP . n-ýëåìåíòíàÿ àíòèöåïü èçî-
ìîðôíà n1.
   Äèàãðàììà ïðÿìîé ñóììû ñîñòîèò èç äâóõ äèàãðàìì ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷.ó. ìíîæåñòâ,
ðàññìàòðèâàåìûõ êàê åäèíàÿ äèàãðàììà. ×.ó. ìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ ïðÿìîé ñóììîé
íåêîòîðûõ äâóõ äðóãèõ ÷.ó. ìíîæåñòâ, íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì.


Ïîðÿäêîâàÿ ñóììà. Åñëè h P, vP i è h Q, vQ i  òàêæå äâà ÷.ó. ìíîæåñòâà ñ íåïåðå-
ñåêàþùèìèñÿ íîñèòåëÿìè, òî èõ ïîðÿäêîâîé èëè îðäèíàëüíîé ñóììîé P ⊕ Q íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî P ∪ Q ñ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì v òàêèì, ÷òî x v y êîãäà ëèáî x vP y , ëèáî
x vQ y , ëèáî x ∈ P è y ∈ Q.
   Ïîíÿòíî, ÷òî îïåðàöèÿ ïîðÿäêîâîé ñóììû àññîöèàòèâíà, íî íå êîììóòàòèâíà. Îáû÷-
íûì îáðàçîì ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íàòóðàëüíîé ñòåïåíè P n ÷.ó. ìíîæåñòâà P . n-ýëåìåíòíàÿ
öåïü èçîìîðôíà 1 ⊕ . . . ⊕ 1 ( n ðàç).
   Äèàãðàììà ïîðÿäêîâîé ñóììû P ⊕Q ñîñòîèò èç äèàãðàìì ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷.ó. ìíî-
æåñòâ, ïðè÷¼ì äèàãðàììà P ðàñïîëàãàåòñÿ ïîä äèàãðàììîé Q, è â êîòîðîé äîáàâëå-
íû îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå ìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòû P ñ ìèíèìàëüíûìè ýëåìåíòàìè Q.
Íà ðèñ. 3.7 ïîêàçàíà ïîðÿäêîâàÿ ñóììà äâóõ çèãçàãîâ ïîðÿäêîâ 3 è 4.




                                          
                                            ◦[[
                                               [
                                    ◦
                                               A A ◦

                                         A AAA
                                    ◦
                                      AA           ◦


                                    ◦               ◦


                        Ðèñ. 3.7: Ïîðÿäêîâàÿ ñóììà Z4 ⊕ Z3

   ×.ó. ìíîæåñòâî, íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå êàðäèíàëüíîé [ îðäèíàëüíîé ] ñóììû ñâîèõ
ïîäìíîæåñòâ, íàçûâàåòñÿ êàðäèíàëüíî [ îðäèíàëüíî ] íåðàçëîæèìûì.

Òåîðåìà 3.7. Âñÿêîå ÷.ó. ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ êàðäèíàëüíîé ñóììîé ñâîèõ êàðäèíàëü-
íî íåðàçëîæèìûõ ïîäìíîæåñòâ.

   Âåðíà òàêæå àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà äëÿ îðäèíàëüíîé ñóììû. Äîêàçàòåëüñòâî îáåèõ
òåîðåì èìååòñÿ â [13].

Страницы