Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

n P P
n
P × Q
∼
=
P × R ⇒ Q
∼
=
R , P
n
∼
=
Q
n
⇒ P
∼
=
Q .
P Q
P
P
x ∈ P Q
x
Q
Q Q
x
Q
y
x
y P
◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦
Z
3
× Z
4
h P, v
P
i h Q, v
Q
i Q
P
P Q Q
P
v
f v g f, g ∈ Q
P
f(x) v
Q
g(x) x ∈ P h Q
P
, v i
1
P
∼
=
1 , 2
n
∼
=
n + 1 .
Z
Z
3
4
•
f : Z
3
→ Z
4
f(x
1
) = f(x
3
) = y
3
, f(x
2
) = y
4
+ ×
×
P × (Q + R)
∼
=
(P × Q) + (P × R)
R
P +Q
∼
=
R
P
× R
Q
, (P
Q
)
R
∼
=
P
Q×R
, (P × Q)
R
∼
=
P
R
× Q
R
.
P, Q R
3.3. Îïåðàöèè íàä ÷.ó. ìíîæåñòâàìè. Ðàçìåðíîñòü                                      61


   Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå n ýêçåìïëÿðîâ ÷.ó. ìíîæåñòâ P îáîçíà÷àþò P n . Ñïðàâåäëèâî
ñîîòíîøåíèå

             P ×Q ∼
                  = P ×R ⇒ Q ∼
                             = R,            îòêóäà P n ∼
                                                        = Qn ⇒ P ∼
                                                                 = Q.

   Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü äèàãðàììó ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÷.ó. ìíîæåñòâ P è Q

  1)   ñòðîÿò äèàãðàììó ÷.ó. ìíîæåñòâà P ;
  2)   îòáðàñûâàþò îòðåçêè ìåæäó ýëåìåíòàìè P ;
  3)   çàìåíÿþò êàæäûé ýëåìåíò x ∈ P êîïèåé Qx äèàãðàììû Q;
  4)   ñîåäèíÿþò îòðåçêàìè êîïèè ýëåìåíòîâ èç Q â Qx è Qy , åñëè x íåïîñðåäñòâåííî
       ïðåäøåñòâóåò y â P .

Íà ðèñ. 3.9 ïîêàçàíî ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå òð¼õ- è ÷åòûð¼õýëåìåíòíîãî çèãçàãîâ.


                                     ◦[
                                 A A   A
                                A AAA [[ A ◦

                            A A
                      ◦[
                        AAA ◦ AAA ◦
                                 A
                          [[ AA AA A   A A ◦              ◦   [[ ◦
                           AA AAAA                              [
                      ◦
                        AA    ◦                           ◦       ◦


                        Ðèñ. 3.9: Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå Z3 × Z4



Ñòåïåíü. Åñëè h P, vP i è h Q, vQ i  äâà ÷.ó. ìíîæåñòâà, òî îáîçíà÷èì ÷åðåç QP
ìíîæåñòâî âñåõ èçîòîííûõ îòîáðàæåíèé èç P â Q. Ââåä¼ì íà QP ïîðÿäîê v, ïîëîæèâ
f v g äëÿ f, g ∈ QP , åñëè f (x) vQ g(x) äëÿ âñåõ x ∈ P . Òàêèì îáðàçîì, h QP , v i åñòü
÷.ó. ìíîæåñòâî.
    Ïåðâîå èç íèæåñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé î÷åâèäíî, à âòîðîå ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ:

                                  1P ∼
                                     = 1,   2n ∼
                                               = n + 1.

Íà ðèñ. 3.10 ïîêàçàíî ÷.ó. ìíîæåñòâî Z4Z3 , ãäå âûäåëåííîìó ýëåìåíòó • ñîîòâåòñòâóåò
îòîáðàæåíèå f : Z3 → Z4 òàêîå, ÷òî f (x1 ) = f (x3 ) = y3 , f (x2 ) = y4 (ñì. ðèñ. 3.6).
   Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ââåä¼ííûõ âûøå îïåðàöèé +, × íàä ÷.ó. ìíîæåñòâàìè
âûïîëíÿþòñÿ çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè, êîììóòàòèâíîñòè (äëÿ ×  ñ òî÷íîñòüþ äî èçî-
ìîðôèçìà), ïåðâûé äèñòðèáóòèâíûé çàêîí

                           P × (Q + R) ∼
                                       = (P × Q) + (P × R)

è äëÿ ñòåïåíè  ñîîòíîøåíèÿ

              RP +Q ∼
                    = RP × RQ ,    (P Q )R ∼
                                           = P Q×R ,   (P × Q)R ∼
                                                                = P R × QR .

Çäåñü P, Q è R  ÷.ó. ìíîæåñòâà è ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ïðÿìûå ñóì-
ìû. Óêàçàííûå ñîîòíîøåíèÿ, âìåñòå ñ ïðèâåä¼ííûìè âûøå ïðè îïðåäåëåíèè îïåðàöèé,

Страницы