Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ •
◦ ◦
Z
Z
3
4
n
P
∼
=
¡
2
n−1
¢
P
∼
=
2
P ×(n−1)
.
P × Q
∼
=
Q × P
+ ×
h M, v i
6
M M a b
a 6 b
x v a b v y x 6 y h M, 6 i
a b
a 6 b b 6 a
v
6 x v y x 6 y
x v y
x y
¤
62                                     Ãëàâà 3. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà



                            ◦[                                   [[
                        A A
                       A  [[                               
                                                              ◦
                     A                                             [
                   A
               AAA ◦                                     
             ◦                 ◦ [    ◦                 ◦ [          ◦

                                 [[                       [[ 
                                                                
                                                           AA
             ◦                               ◦                 •
                                                        A A
                                               A
                                               A AA
             ◦                               ◦


                              Ðèñ. 3.10: Ñòåïåíü Z4Z3


íàçûâàþòñÿ ïðàâèëàìè àðèôìåòèêè îðäèíàëîâ.  ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâî âàæíîå äëÿ
ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ñîîòíîøåíèå
                                 ¡    ¢P
                            nP ∼
                               = 2n−1    ∼
                                         = 2P ×(n−1) .

    Çàìåòèì, ÷òî äèàãðàììû ñîîòâåòñòâóþùèõ èçîìîðôíûõ ìíîæåñòâ îáû÷íî âûãëÿ-
äÿò ñîâåðøåííî íå ïîõîæèìè äðóã íà äðóãà (äàæå äëÿ çàêîíà êîììóòàòèâíîñòè
P ×Q ∼ = Q × P ).
    Ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî êëàññ âñåõ íåðàçëîæèìûõ â ïðÿìóþ ñóììó èëè ïðîèçâåäåíèå
÷.ó. ìíîæåñòââ òàêæå íåîáîçðèì, êàê è âñåõ èñõîäíûõ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëåíèå ñîâîêóï-
íîñòè ÷.ó. ìíîæåñòââ â âèäå ÀÑ ñ îïåðàöèÿìè + è × íå ðåøàåò ïðîáëåìû èõ ¾õîðîøåãî¿
îïèñàíèÿ. Ýòè è ïðî÷èå îïèñàííûå îïåðàöèè ïîëåçíû ïðè ïîñòðîåíèè ÷.ó. ìíîæåñòâ ñî
ñïåöèàëüíûìè ñâîéñòâàìè.
   Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðåäñòàâëåíèå ÷àñòè÷íûõ ïîðÿäêîâ â âèäå ïåðåñå÷åíèÿ öåïåé. Îñ-
íîâíîé çäåñü ÿâëÿåòñÿ

Òåîðåìà 3.8 (Øïèëüðàéíà-Äàøíèêà-Ìèëëåðà). Ëþáîé ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê ìî-
æåò áûòü ïðîäîëæåí äî ëèíåéíîãî íà òîì æå ìíîæåñòâå. Êàæäûé ïîðÿäîê åñòü
ïåðåñå÷åíèå ñâîèõ ëèíåéíûõ ïðîäîëæåíèé.

Äîêàçàòåëüñòâî (äëÿ êîíå÷íîãî ñëó÷àÿ). Ïóñòü h M, v i  ÷.ó. ìíîæåñòâî. Ïîñòðîèì
ëèíåéíûé ïîðÿäîê 6, ñîäåðæàùèé äàííûé ÷àñòè÷íûé.
   Ïî óñëîâèþ M  íå öåïü, è çíà÷èò â M íàéäóòñÿ íåñðàâíèìûå ýëåìåíòû a è b.
Ïðîèçâîëüíî îïðåäåëèì ïîðÿäîê íà íèõ. Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè ïîëîæèì, íàïðèìåð, a 6 b.
Äàëåå äëÿ âñåõ x v a è b v y ïîëàãàåì x 6 y . Åñëè h M, 6 i åù¼ íå öåïü, òî âûáåðåì
íîâóþ ïàðó íåñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ è ïîñòóïàåì, êàê óêàçàíî âûøå. ×åðåç êîíå÷íîå
÷èñëî øàãîâ ïîëó÷àåì ëèíåéíûé ïîðÿäîê.
   Ïîñêîëüêó âîçìîæåí ðàçëè÷íûé âûáîð ïàð íåñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ a è b è ïðè
êàæäîì âûáîðå ìîæíî ïîëàãàòü êàê a 6 b, òàê è b 6 a, òî äåéñòâóÿ óêàçàííûì îáðàçîì
ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå âîçìîæíûå ïðîäîëæåíèÿ èñõîäíîãî ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà v
äî ëèíåéíîãî 6 (ò.å. åñëè x v y , òî è x 6 y ).
   Ïåðåñå÷åíèå âñåõ òàêèõ öåïåé äàñò èñõîäíîå ÷.ó. ìíîæåñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
x v y , òî àíàëîãè÷íîå ñëåäîâàíèå áóäåò è âî âñåõ ïîëó÷åííûõ ëèíåéíûõ ïîðÿäêàõ, à
ïðè íåñðàâíèìûõ x è y âñåãäà íàéä¼òñÿ ïàðà öåïåé ñ ïðîòèâîïîëîæíûì èõ ñëåäîâàíè-
åì, ÷òî â ïåðåñå÷åíèè öåïåé è äàñò íåñðàâíèìîñòü ýòèõ ýëåìåíòîâ.                  ¤

Страницы