Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
P P
0
P
ϕ
→ P
0
P
∼
=
P
0
P
ϕ
∼
=
P
0
)
P P
0
ϕ : P → P
0
P
x, y ∈ P x v y ⇔ ϕ(x) v ϕ(y)
ϕ
a)
b) ϕ(x) = |x|
h N, | i
v 6
id : h M, v i → h M, 6 i
Q
Q
0
Q
nZ Z n
ϕ X ϕ(A) = A
A ⊆ X
P
k C
i
P → C
1
× . . . × C
k
h P, v i I P
½
x ∈ I
y v x
⇒ y ∈ I.
F P
½
x ∈ F
x v y
⇒ y ∈ F .
56                                       Ãëàâà 3. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà


   Åñëè ϕ èçîòîííî, îáðàòíî èçîòîííî è èíúåêòèâíî, òî åãî íàçûâàþò âëîæåíèåì èëè
(ïîðÿäêîâûì) ìîíîìîðôèçìîì ÷.ó. ìíîæåñòâà P â ÷.ó. ìíîæåñòâî P 0 , ÷òî îáîçíà÷àþò
   ϕ
P ,→ P 0 .
   Ñþðúåêòèâíûé ìîíîìîðôèçì ÷.ó. ìíîæåñòâ íàçûâàþò (ïîðÿäêîâûì) èçîìîðôèçìîì
                                                            ϕ
(ñèìâîëè÷åñêè P ∼
                = P 0 èëè, ñ óêàçàíèåì íà îòîáðàæåíèå  P ∼ = P 0 ).
    Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî êîìïîçèöèÿ èçîòîííûõ [îáðàòíî èçîòîííûõ] îòîáðàæåíèé èçî-
òîííà [îáðàòíî èçîòîííà]. Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî äëÿ ÷.ó. ìíîæåñòâ P è P 0 îòîáðàæåíèå
ϕ : P → P 0 åñòü ïîðÿäêîâûé èçîìîðôèçì, åñëè è òîëüêî åñëè P  èçîòîííàÿ è îáðàòíî
èçîòîííàÿ áèåêöèÿ, ò.å. äëÿ ëþáûõ x, y ∈ P ñïðàâåäëèâî x v y ⇔ ϕ(x) v ϕ(y). Çàìåòèì,
÷òî áèåêòèâíîñòü ϕ ìîæåò áûòü âûâåäåíà èç ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ.
Ïðèìåð 3.8.    1. ×.ó. ìíîæåñòâî a), èçîáðàæ¼ííîå íà ðèñ. 3.1 ÿâëÿåòñÿ èçîòîííûì îá-
     ðàçîì ÷.ó. ìíîæåñòâà b), åñëè â êà÷åñòâå îòîáðàæåíèÿ âçÿòü ôóíêöèþ ϕ(x) = |x|.
     Ýòî îòîáðàæåíèå íå èíúåêòèâíî è, ñëåäîâàòåëüíî, âëîæåíèåì íå ÿâëÿåòñÿ.
  2. Òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå ÷.ó. ìíîæåñòâà h N, | i âî ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷è-
     ñåë ñ åñòåñòâåííûì ïîðÿäêîì èçîòîííî, íî íå îáðàòíî èçîòîííî è, ñëåäîâàòåëüíî,
     âëîæåíèåì òàêæå íå ÿâëÿåòñÿ.
  3. Ïðè ïðîäîëæåíèè ëþáîãî ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà v íà äî ëèíåéíîãî 6 åñòåñòâåííîå
     âëîæåíèå id : h M, v i → h M, 6 i èçîòîííî è âçàèìíîîäíîçíà÷íî, íî íå ÿâëÿåòñÿ
     ìîíîìîðôèçìîì èç-çà îòñóòñòâèÿ îáðàòíîé èçîòîííîñòè è, òåì áîëåå, íå ÿâëÿåòñÿ
     èçîìîðôèçìîì.
         ÷àñòíîñòè, åñëè Q  íåîäíîýëåìåíòíîå ÷.ó. ìíîæåñòâî ñ òðèâèàëüíûì ïîðÿäêîì,
        à Q 0  òî æå ñàìîå ìíîæåñòâî ñ ïðîèçâîëüíûì íåòðèâèàëüíûì ïîðÿäêîì, òî òîæ-
        äåñòâåííîå îòîáðàæåíèå Q íà ñåáÿ ÿâëÿåòñÿ èçîòîííûì è âçàèìíîîäíîçíà÷íûì, íî
        íå îáðàòíî èçîòîííûì.
     4. Åñòåñòâåííîå âëîæåíèå nZ â Z äëÿ íàòóðàëüíîãî n åñòü ìîíîìîðôèçì.
     5. Îòîáðàæåíèå ϕ áóëåàíà íåïóñòîãî ìíîæåñòâà X â ñåáÿ òàêîå, ÷òî ϕ(A) = A äëÿ
        A ⊆ X , åñòü àíòèèçîòîííîå îòîáðàæåíèå.
Òåîðåìà 3.5 ([10]). Êàæäûé ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê èçîìîðôåí íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó
äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ öåïåé.
Îïðåäåëåíèå 3.9. Ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðàçìåðíîñòüþ ÷.ó. ìíîæåñòâà P íàçû-
âàåòñÿ íàèìåíüøåå ÷èñëî k ëèíåéíûõ ïîðÿäêîâ Ci òàêèõ, ñóùåñòâóåò âëîæåíèå
P ,→ C1 × . . . × Ck .


Îïðåäåëåíèå 3.10. Ïóñòü h P, v i  ÷.ó. ìíîæåñòâî. Ïîäìíîæåñòâî I ýëåìåíòîâ P
íàçûâàåòñÿ åãî ïîðÿäêîâûì èäåàëîì, åñëè
                                ½
                                   x∈I
                                        ⇒ y ∈ I.
                                   yvx

Ïîäìíîæåñòâî F ýëåìåíòîâ P íàçûâàåòñÿ åãî ïîðÿäêîâûì ôèëüòðîì, åñëè
                             ½
                               x∈F
                                      ⇒ y ∈ F.
                               xvy

    Òàêèì îáðàçîì, ïîðÿäêîâûå èäåàëû ÷.ó. ìíîæåñòâà ñóòü òàêèå åãî ïîäìíîæåñòâà, êî-
òîðûå âìåñòå ñ êàæäûì ñâîèì ýëåìåíòîì ñîäåðæàò âñå ýëåìåíòû, ïðåäøåñòâóþùèå åìó.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ïóñòîå ìíîæåñòâî òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîðÿäêîâûì èäåàëîì ëþáîãî
÷.ó. ìíîæåñòâà. Äâîéñòâåííî, ïîðÿäêîâûå ôèëüòðû ÷.ó. ìíîæåñòâà ñóòü òàêèå åãî ïîäìíî-
æåñòâà, êîòîðûå âìåñòå ñ êàæäûì ñâîèì ýëåìåíòîì ñîäåðæàò âñå ýëåìåíòû, ñëåäóþùèå

Страницы