Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

P e(P )
b
c
d
a
A = [ a, b, c, d ], B = [ a, c, d, b ], C = [ a, d, b, c ]
A D = [ a, d, c, b ]
P
dim(P )
dim(P ) dim(P )
P e(P )
6 S
3
C C
]
◦ ◦
d
e
f
◦ ◦ ◦
a
b
c
◦
S
3
C
S
3
S
3
= [ a, b, d, c, e, f ] ∩ [ c, a, e, b, f, d ] ∩ [ c, b, f, a, e, d ].
P Q
vol(P)
3.3. Îïåðàöèè íàä ÷.ó. ìíîæåñòâàìè. Ðàçìåðíîñòü                                             65


ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ îáú¼ìà óêàçàííîãî ìíîãîãðàííèêà3 .
   ßñíî, ÷òî ÷.ó. ìíîæåñòâî P ñîâïàäàåò ñ ïåðåñå÷åíèåì âñåõ e(P ) ñâîèõ âîçìîæíûõ
ëèàíåðèçàöèé. Îäíàêî, òîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, âçÿâ çíà÷èòåëüíî ìåíüøåå
÷èñëî ëèíåéíûõ ïðîäîëæåíèé.
Ïðèìåð 3.11. ×.ó. ìíîæåñòâî
                                b       c     [[d
                                                [ 
                                                     a
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî è êàê ïåðåñå÷åíèå òð¼õ öåïåé
                   A = [ a, b, c, d ],       B = [ a, c, d, b ],   C = [ a, d, b, c ]
è êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ  A è D = [ a, d, c, b ].
Îïðåäåëåíèå 3.11. Íàèìåíüøåå ÷èñëî ëèíåéíûõ ïîðÿäêîâ, äàþùåå â ïåðåñå÷åíèè äàí-
íîå ÷.ó. ìíîæåñòâî P íàçûâàåòñÿ (ïîðÿäêîâîé) ðàçìåðíîñòüþ ïîñëåäíåãî è îáîçíà÷àåòñÿ
dim(P ).
   Ñïðàâåäëèâà
Òåîðåìà 3.9 (Îðå [10]). Ïîðÿäêîâàÿ è ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ðàçìåðíîñòè ÷.ó. ìíîæå-
ñòâà ñîâïàäàþò.
   Äàííàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò íå ðàçëè÷àòü óêàçàííûå âèäû ðàçìåðíîñòè è ïîëüçîâàòüñÿ
äëÿ å¼ îáîçíà÷åíèÿ åäèíûì ñèìâîëîì dim(P ). Çíà÷åíèå dim(P ) ÿâëÿåòñÿ áîëåå òîíêîé
îöåíêîé ñëîæíîñòè ÷.ó. ìíîæåñòâà P , ÷åì e(P ).
   Ðàçìåðíîñòü 1 èìåþò òîëüêî öåïè. Ëåãêî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðàçìåðíîñòü òðèâèàëüíî
óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ è âñåõ, îòëè÷íûõ îò öåïåé ÷.ó. ìíîæåñòâ, èìåþùèõ íå áîëåå,
÷åì 5 ýëåìåíòîâ, ðàâíà 2. Ðàçìåðíîñòü 2 èìåþò è âñå 6-ýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà, êðîìå
öåïè 6 è ò.í. êîðîíû S3 , øåâðîíà C è C ] (ñì. ðèñ. 3.13), èìåþùèå ðàçìåðíîñòü 3.


                                                               ◦ [[       
                                                                            ◦

                                                                    [ 
                                                                       
                  d    [[  e [[ f                             ◦ [   ◦
                                                                   [[ 
                                                                            ◦

                         [    [
                             [                                      
                  a          b           c                                ◦


                       Êîðîíà S3                                    Øåâðîí C


                  Ðèñ. 3.13: 6-ýëåìåíòíûå ÷.ó. ìíîæåñòâà ðàçìåðíîñòè 3

Ïðèâåä¼ì ðàçëîæåíèå S3 â ïåðåñå÷åíèå öåïåé:
                S3 = [ a, b, d, c, e, f ] ∩ [ c, a, e, b, f, d ] ∩ [ c, b, f, a, e, d ].

   Óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ÷.ó. ìíîæåñòâ P è Q ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
   3 Äëÿ ýòîãî âîçìîæíî ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ñ ïîëó÷åíèåì îöåíîê vol(P) âåðîÿòíîñòíîãî
òèïà.

Страницы