Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A 6= ∅ f
A
B A B
f
A
(B) ∈ B B ∈ P
∗
(A)
C
C
P
P
α, β, . . .
o
α
α + 1
N
Z
[ 0, 1 ]
(
0,
1
2
,
2
3
,
3
4
, . . . , 1, 1 +
1
2
, 1 +
2
3
, . . . , m, m +
1
2
, m +
2
3
, . . .
)
Z
0 < 1 < −1 < 2 < −2 < 3 . . . 1 < 2 < . . . < 0 < −1 < −2 < . . .
3.4. Âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è ñìåæíûå âîïðîñû                                            67


   Äàííûå óòâåðæäåíèÿ ÷àñòî ïðèìåíÿþò ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñâîéñòâ ÷.ó. ìíîæåñòâ.
Íàïðèìåð, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Øïèëüðàéíà (3.8) äëÿ ñ÷åòíîãî áåñêîíå÷íîãî
óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.
   Îêàçàëîñü, ÷òî ýòè óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. Áîëåå òîãî, îíè òàêæå ýêâèâàëåíòíû
ôóíäàìåíòàëüíûì òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûì àêñèîìàì âûáîðà è î ïîëíîì óïîðÿäî÷å-
íèè.

Àêñèîìà âûáîðà (AC). Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A 6= ∅ ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå fA ,
     ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó íåïóñòîìó ïîäìíîæåñòâó B ìíîæåñòâà A ýëåìåíò èç B :
     fA (B) ∈ B äëÿ ëþáîãî B ∈ P ∗ (A).

Òàêèì îáðàçîì, àêñèîìà âûáîðà4 óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî âñþäó îïðåäåë¼ííîãî ñî-
îòâåòñòâèÿ ìîæíî ïîñòðîèòü âëîæåííîå â íåãî ôóíêöèîíàëüíîå.
   Äëÿ ôîðìóëèðîâêè ñëåäóþùåé àêñèîìû íàì ïîòðåáóþòñÿ íîâîå ïîíÿòèå.
Îïðåäåëåíèå 3.12. Ëèíåéíûé ïîðÿäîê C íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè êàæäîå åãî íåïóñòîå
ïîäìíîæåñòâî ñîäåðæèò íàèìåíüøèé ýëåìåíò.  ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî C íàçûâàþò
âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì, à åãî ýëåìåíòû  òðàíñôèíèòàìè.

   Ìíîæåñòâî P áóäåò âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî óäîâëåòâî-
ðÿåò óñëîâèþ ìèíèìàëüíîñòè, ò.å. êîãäà íå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íûõ ñòðîãî óáûâàþùèõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâ èç P .
   Òðàíñôèíèòû òðàäèöèîííî îáîçíà÷àþò ñòðî÷íûìè ãðå÷åñêèìè áóëàâàìè α, β, . . ..
ßñíî, ÷òî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî âñåãäà ñîäåðæèò íàèìåíüøèé ýëåìåíò (o).
Âî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå êàæäûé ýëåìåíò α , åñëè òîëüêî îí íå ÿâëÿåòñÿ
íàèáîëüøèì, èìååò åäèíñòâåííûé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèé, îáîçíà÷àåìûé α + 1 è
ìîæåò èìåòü íå áîëåå îäíîãî íåïîñðåäñòâåííî ïðåäøåñòâóþùåãî (ýòè ñâîéñòâà ëåãêî ïà-
êàçûâàþòñÿ). Ýëåìåíò âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íå èìåþùèé íåïîñðåäñòâåííî
ïðåäøåñòâóþùåãî, åñëè òîëüêî îí íå ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì, íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíûì.
Ïðèìåð 3.12.   1. Î÷åâèäíî, âïîëíå óïîðÿäî÷åíû âñå êîíå÷íûå öåïè, à òàê æå öåïü N
    ñ åñòåñòâåííûì ïîðÿäêîì. Â ýòèõ öåïÿõ íåò ïðåäåëüíûõ ýëåìåíòîâ.
     Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Z íå ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì îòíîñèòåëüíî åñòå-
     ñòâåííîãî ïîðÿäêà, ïîñêîëüêó îíî íå èìååò íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà. Èíòåðâàë [ 0, 1 ]
     äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñ îáû÷íûì ïîðÿäêîì  òàêæå íå åñòü âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå
     ìíîæåñòâî.
  2. Ìíîæåñòâî
                (                                                              )
                    1 2 3                1     2                1     2
                  0, , , , . . . , 1, 1 + , 1 + , . . . , m, m + , m + , . . .
                    2 3 4                2     3                2     3

     ñ åñòåñòâåííûì ïîðÿäêîì ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì. Åãî ïðåäåëüíûå ýëåìåí-
     òû ñóòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà.

Àêñèîìà î ïîëíîì óïîðÿäî÷åíèè (òåîðåìà Öåðìåëî). Ëþáîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî
     ìîæíî âïîëíå óïîðÿäî÷èòü.

Ïðèìåð 3.13. Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Z ìîæíî âïîëíå óïîðÿäî÷èòü ñ÷èòàÿ, íàïðèìåð,
÷òî
        0 < 1 < −1 < 2 < −2 < 3 . . . èëè 1 < 2 < . . . < 0 < −1 < −2 < . . .
(â ïîñëåäíåì ñëó÷àå 0  ïðåäåëüíûé ýëåìåíò).
  4 Îáùåïðèíÿòîå   îáîçíà÷åíèå ÀÑ äëÿ íå¼ åñòü àááðåâèàòóðà àíãëèéñêîãî òåðìèíà ¾axiom of choice¿.

Страницы