Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

R = { x | x 6∈ x }
z ∈ R ⇔ z 6∈ z z z = R
R ∈ R ⇔ R 6∈ R ZF
R
[ o, α ) , α
O
r {α}
α [ o, o )
α h C, 6 i
α 6= o [ o, α ) α
α + 1 α
M
r {α}
h C, 6 i
C
C
]
C
α
[ o, α ) =
[
β<α
[ o, β ) .
C C
]
C o
ι ι
o C
C
γ ∈ [ o, α ) γ γ + 1 γ + 1 6 α
α
γ ∈ [ o, γ + 1 ) ⊆
S
β<α
[ o, β ) [ o, α ) ⊆
S
β<α
[ o, β )
¤
A B
a
N
a
a N
a
∈ N
a
3.4. Âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è ñìåæíûå âîïðîñû                                            69


èñïîëüçóþùèå àêñèîìó âûáîðà èëè ýêâèâàëåíòíûå åé óòâåðæäåíèÿ íàçûâàþò ýôôåêòèâ-
íûìè.
   Çàìåòèì, ÷òî äàííîå ïîñîáèå îñòà¼òñÿ â ðàìêàõ ò.í. íàèâíîé òåîðèè ìíîæåñòâ, êîòî-
ðàÿ ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâà, çàäàâàåìûå ïðîèçâîëüíûì ñâîéñòâîì. Íåîãðà-
íè÷åííîå ïðèìåíåíèå ýòîãî ïðèíöèïà, êàê èçâåñòíî, ìîæåò ïðèâåñòè ê ïðîòèâîðå÷èÿì
(ïàðàäîêñàì). Ïðèâåä¼ì çäåñü ïàðàäîêñ Ðàññåëà 8 : ìíîæåñòâî Ðàññåëà R = { x | x 6∈ x },
êîððåêòíî çàäàííîå â ðàìêàõ íàèâíîé òåîðèè ìíîæåñòâ, õàðàêòåðèçóåòñÿ ñïðàâåäëèâî-
ñòüþ ñîîòíîøåíèÿ z ∈ R ⇔ z 6∈ z äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà z , ÷òî ïðè z = R ïðèâîäèò
ê ïðîòèâîðå÷èþ R ∈ R ⇔ R 6∈ R.  àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ ZF (êàê è
â äðóãèõ íå ýêçîòè÷åñêèõ òåîðèÿõ) íè R, íè ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ñåáÿ â êà÷åñòâå
ñâîåãî ýëåìåíòà, íå ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû9 .
   Äëÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà îïðåäåëÿþò ìíîæåñòâî [ o, α ) , αO r {α},
êîòîðîå íàçûâàþò íà÷àëüíûì îòðåçêîì α. Ñèìâîë [ o, o ) ïîíèìàåòñÿ êàê ïóñòîå ìíîæå-
ñòâî. Ïðåäåëüíûé ýëåìåíò α âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà h C, 6 i îïðåäåëÿåòñÿ
óñëîâèÿìè α 6= o è îòñóòñòâèåì â [ o, α ) íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà. Ñëåäóþùèé çà α ýëå-
ìåíò α + 1  íàèìåíüøèé âî ìíîæåñòâå αM r {α}.
   Îòìåòèì âàæíåéøèå ñâîéñòâà âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ h C, 6 i.
Òåîðåìà 3.10. Ïóñòü C  âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Òîãäà
 1) åñëè C ] òàêæå âïîëíå óïîðÿäî÷åíî, òî C  êîíå÷íàÿ öåïü.
 2) åñëè α  ïðåäåëüíûé òðàíñôèíèò, òî
                                            [
                                 [ o, α ) =   [ o, β ) .
                                                    β<α



Äîêàçàòåëüñòâî.
 1) Ïîñêîëüêó C è C ] âïîëíå óïîðÿäî÷åíû, òî C ñîäåðæèò óíèâåðñàëüíûå ãðàíè o
    è ι , êàæäûé å¼ ýëåìåíò, îòëè÷íûé îò ι èìååò ïîñëåäóþùèé, à êàæäûé ýëåìåíò,
    îòëè÷íûé îò o  ïðåäøåñòâóþùèé. Òàêèì îáðàçîì, â C îòñóòñòâóþò ïðåäåëüíûå
    ýëåìåíòû, âñå å¼ ñå÷åíèÿ  ñêà÷êè, ÷òî âìåñòå ñ íàëè÷èåì óíèâåðñàëüíûõ ãðàíåé
    îçíà÷àåò êîíå÷íîñòü C .
 2) Åñëè γ ∈ [ o, α ), òî ïîñêîëüêó ìåæäó γ è γ + 1 ýëåìåíòîâ íåò, γ + 1 6 α.
    Îäíàêî, â ñèëó Sïðåäåëüíîñòè α, ðàâåíñòâî       S       íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì,
    γ ∈ [ o, γ + 1 ) ⊆ β<α [ o, β ), ò.å. [ o, α ) ⊆ β<α [ o, β ). Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå î÷å-
    âèäíî.
                                                                                                  ¤

   Ðåøàþùèì ìîìåíòîì, îáåñïå÷èâàþùèì âîçìîæíîñòü ñðàâíèâàòü ïðîèçâîëüíûå ìíî-
æåñòâ ÿâëÿåòñÿ
Òåîðåìà 3.11 (Î ñðàâíåíèè âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ). Ïóñòü A è B 
äâà âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà. Òîãäà èìååòñÿ ëèøü îäíà èç ñëåäóþùèõ âîç-
ìîæíîñòåé:
XX âåêà.
   8 Ïàðàäîêñ áûë îáíàðóæåí Á. Ðàññåëîì è ñîîáù¼í â 1902 ã. â ïèñüìå ê ìàòåìàòèêó è ëîãèêó Ã. Ôð
                                                                                                åãå,
÷òî ïðèâåëî ïîñëåäíåãî ê óìñòâåííîìó ðàññòðîéñòâó. Îäíà èç íåôîðìàëüíûõ èíòåðïðåòàöèé ïàðàäîê-
ñà Ðàññåëà: ¾Â îäíîé ñòðàíå âûøåë óêàç: Ìýðû âñåõ ãîðîäîâ äîëæíû æèòü íå â ñâîåì ãîðîäå, à â
ñïåöèàëüíîì Ãîðîäå ìýðîâ; ñïðàøèâàåòñÿ, ãäå äîëæåí æèòü ìýð Ãîðîäà ìýðîâ?¿.
   9 Ïðèâåä¼ì ïðèìåð ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùåãî ñåáÿ. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé îáúåêò a è ðàññìîòðèì
ñîâîêóïíîñòü Na âñåõ ìíîæåñòâ, íå ñîäåðæàùèõ a. Äëÿ íåãî èìååì Na ∈ Na .

Страницы