Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
∼
=
B
A B
B A
A B A = B
A B
A 6= B X
X X
A B
A = B
A = B
0
B
0
⊆ B A
0
6= B A
0
⊆ A
B = A
0
A
0
⊆ A B
0
6= A B
0
⊆ B
A B
¤
A < B A > B
A ⊆ B A 6 B
A = B
A < P(A)
a ∈ A {a}
A A P(A) A 6 P(A)
ϕ A
P(A) A M
M = {a ∈ A | a 6∈ ϕ(a)} ∈ P(A).
ϕ m ∈ A ϕ(m) = M
M
m ∈ M m 6∈ ϕ(m) = M m 6∈ M
m ∈ ϕ(m) = M ¤
V P(V ) ⊆ V P(V ) 6 V
V V = {x | x = x}
70                                              Ãëàâà 3. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà


 1)   A    ∼
           = B;
 2)   A    èçîìîðôíî íà÷àëüíîìó îòðåçêó B ;
 3)   B    èçîìîðôíî íà÷àëüíîìó îòðåçêó A.

   Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû èìååòñÿ, íàïðèìåð, â [14].
   Ìíîæåñòâà A è B íàçîâ¼ì ðàâíîìîùíûìè , ÷òî áóäåì îáîçíà÷àòü êàê A = B , åñëè
ìåæäó A è B ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå áóäåì ãîâîðèòü,
÷òî îíè íåðàâíîìîùíû è ïèñàòü A 6= B . Çäåñü ïîä X ïîíèìàåòñÿ íîâûé îáúåêò, ñâÿçàí-
íûé ñ ìíîæåñòâîì X , íàçûâàåìûé êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì X èëè êàðäèíàëîì. Îïðå-
äåëåíèå òàêîãî îáúåêòà âîçìîæíî ïî ïðèíöèïó àáñòðàêöèè, ñîãëàñíî êîòîðîìó ýêâèâà-
ëåíòíûì ìíîæåñòâàì ìîæíî ñîïîñòàâèòü íåêîòîðûé àáñòðàêòíûé îáúåêò (êàðäèíàëüíîå
÷èñëî)  òî îáùåå, ÷òî äåëàåò èõ ýêâèâàëåíòíûìè10 .

Òåîðåìà 3.12 (Çàêîí òðèõîòîìèè). Äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A è B èìååòñÿ ëèøü
îäíà èç ñëåäóþùèõ âîçìîæíîñòåé:

 1) A = B ;
 2) A = B 0 äëÿ íåêîòîðîãî B 0 ⊆ B , íî A0 6= B äëÿ ëþáîãî A0 ⊆ A;
 3)   B = A0 äëÿ íåêîòîðîãî A0 ⊆ A, íî B 0 6= A äëÿ ëþáîãî B 0 ⊆ B .

Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû ïîïàðíî íåñîâìåñòèìû. Äàëåå, èñ-
ïîëüçóÿ àêñèîìó î ïîëíîì óïîðÿäî÷åíèè çàêëþ÷àåì, ÷òî äëÿ A è B ñïðàâåäëèâà òåî-
ðåìà 3.11. Îòñþäà ëèáî ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ 2)3) äàííîé òåîðåìû, ëèáî âûïîëíÿ-
þòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 2.20 Êàíòîðà-Øð¼äåðà-Áåðíøòåéíà. Ïîñëåäíåå æå âëå÷¼ò âûïîë-
íåíèå óñëîâèÿ 1).                                                                ¤

   Äàííàÿ òåîðåìà ëåæèò â îñíîâå ó÷åíèÿ î ìîùíîñòè ìíîæåñòâ. Îíà ïîçâîëÿåò ââåñòè
ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë, à èìåííî ñ÷èòàòü, ÷òî A < B è A > B
ñîîòâåòñòâåííî â ñëó÷àÿõ 2) è 3) äàííîé òåîðåìû (ïîíÿòíî, ÷òî åñëè A ⊆ B , òî A 6 B ,
ïðè ýòîì âîçìîæåí ñëó÷àé A = B ).

Òåîðåìà 3.13 (Êàíòîð). A < P(A).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîïîñòàâèâ êàæäîìó ýëåìåíòó a ∈ A îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî {a}
ìíîæåñòâà A, ïîëó÷èì âëîæåíèå A â P(A), è ïîýòîìó A 6 P(A).
   Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ϕ ìíîæåñòâà A
â P(A). Âî ìíîæåñòâå A îïðåäåëèì ïîäìíîæåñòâî M :

                                 M = {a ∈ A | a 6∈ ϕ(a)} ∈ P(A).

Ïî îïðåäåëåíèþ ϕ, äîëæåí ñóùåñòâîâàòü ýëåìåíò m ∈ A òàêîé, ÷òî ϕ(m) = M . Ïðè
ïîïûòêå âûÿñíèòü, ïðèíàäëåæèò ëè äàííûé ýëåìåíò ìíîæåñòâó M , ïîëó÷àåì ïðîòè-
âîðå÷èå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè m ∈ M , òî m 6∈ ϕ(m) = M , à åñëè m 6∈ M , èìååì
m ∈ ϕ(m) = M .                                                              ¤

   Çàìåòèì, ÷òî èç òåîðåìû Êàíòîðà ñðàçó ñëåäóåò ïàðàäîêñ Êàíòîðà, ïîêàçûâàþùèé,
÷òî ìíîæåñòâà âñåõ ìíîæåñòâ íå ñóùåñòâóåò. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ìíîæåñòâà âñåõ ìíî-
æåñòâ V ñïðàâåäëèâî P(V ) ⊆ V è, ñëåäîâàòåëüíî, P(V ) 6 V , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå
Êàíòîðà. Ìíîæåñòâî V ìîæíî ôîðìàëüíî îïðåäåëèòü êàê V = {x | x = x}, è ìû åù¼
 10 Ñð.   ñ ïðèíöèïîì àáñòðàêöèè îòîæäåñòâëåíèÿ íà ñ. 26

Страницы