Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

P
α S
α
S S
β
β ∈ [o, α)
S
α
S
S
E α E
P S
β
β ∈ [o, α)
S
α
¤
h A, ' i h C, 6 i
α
E
α
⊆ A α
1
< α
2
E
α
1
⊆ E
α
2
S
E
α
= E A
x, y E =
S
E
α
C(x) ⊆ C
C(x) = { ω ∈ C | x ∈ E
α
} .
α ∈ C(x) α < β β ∈ C(x)
α(x) C(x)
α(y) 6 α(x) y ∈ E
α(y)
E
α(y)
⊆ E
α(x)
y ∈ E
α(x)
x
y x ' y ¤
1
◦
E
1
= {x} ' E
1
y 6= x x 6= y E
1
y
2
◦
α C E
α−1
E
α−1
y ∈ E
α−1
x ∈ E
α−1
E
α
= E
α−1
∪ {y}
α C E
β
β < α
E
α
=
S
β<α
E
β
E
α
K =
S
E
α
α E
α
K
x ¤
x ' y
K x y
3.4. Âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è ñìåæíûå âîïðîñû                                  71


ðàç, êàê è â ñëó÷àå ñ ìíîæåñòâîì Ðàññåëà, óáåæäàåìñÿ, ÷òî íå âñÿêîå ñâîéñòâî îïðåäåëÿåò
ìíîæåñòâî.
   Äàëåå â òåîðèè ìíîæåñòâ ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë âïîëíå
óïîðÿäî÷åíî, îòêóäà ïîëó÷àþò ìíîãî âàæíûõ è èíòåðåñíûõ ñëåäñòâèé.
   Óêàæåì, ÷òî íà âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà ìîæíî îáîáùèòü ìåòîä ìàòåìàòè-
÷åñêîé èíäóêöèè.
Òåîðåìà 3.14 (Ïðèíöèï òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè). Ïóñòü P  âïîëíå óïîðÿäî-
÷åííîå ìíîæåñòâî ñ êàæäûì ýëåìåíòîì α êîòîðîãî ñâÿçàíî óòâåðæäåíèå Sα , îáðà-
çóþùèå ñîâîêóïíîñòü S . Òîãäà, åñëè èç ñïðàâåäëèâîñòè Sβ äëÿ âñåõ β ∈ [o, α) ñëåäóåò
ñïðàâåäëèâîñòü Sα , òî âåðíû âñå óòâåðæäåíèÿ èç S .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñðåäè S èìååòñÿ íåâåðíîå óòâåðæäåíèå. Òîãäà íåïóñòî ìíîæåñòâî
E íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé. Ïóñòü α  íàèìåíüøèé ýëåìåíò E , êîòîðûé âñåãäà ñóùåñòâó-
åò â ñèëó ïîëíîãî ïîðÿäêà íà P . Íî òîãäà, ïîñêîëüêó Sβ ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ β ∈ [o, α),
òî ñïðàâåäëèâî è Sα . Ïðîòèâîðå÷èå.                                                   ¤

   Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñâîéñòâ ÷.ó. ìíîæåñòâ ìåòîä òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè ÿâëÿåòñÿ
àëüòåðíàòèâíûì èñïîëüçîâàíèþ ëåììû Êóðàòîâñêîãî-Öîðíà. Ñ åãî ïîìîùüþ äîêàæåì
òåîðåìó 2.13, óòâåðæäàþùóþ, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà ïðîñòðàíñòâà òîëåðàíòíîñòè ñó-
ùåñòâóåò êëàññ òîëåðàíòíîñòè, åãî ñîäåðæàùèé. Ïðåäâàðèòåëüíî óäîñòîâåðèìñÿ â ñïðà-
âåäëèâîñòè ñëåäóþùåé ëåììû.
Ëåììà 3.1. Ïóñòü h A, ' i  ïðîñòðàíñòâî òîëåðàíòíîñòè, à h C, 6 i  âïîëíå óïî-
ðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, êàæäîìó ýëåìåíòó α êîòîðîãî ñîïîñòàâëåí ïðåäêëàññ òîëå-
ðàíòíîñòè
S           Eα ⊆ A òàê, ÷òî èç α1 < α2 ñëåäóåò Eα1 ⊆ Eα2 . Òîãäà îáúåäèíåíèå
  Eα = E ÿâëÿåòñÿ ïðåäêëàññîì òîëåðàíòíîñòè â A.
                                                                   S
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x, è y  ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà E =   Eα . Îïðå-
äåëèì ïîäìíîæåñòâî C(x) ⊆ C ïðàâèëîì

                               C(x) = { ω ∈ C | x ∈ Eα } .

Î÷åâèäíî, ÷òî èç α ∈ C(x) è α < β ñëåäóåò β ∈ C(x).
   Îáîçíà÷èì ÷åðåç α(x) íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà C(x). Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼í-
íîñòè α(y) 6 α(x). Òàê êàê y ∈ Eα(y) , à Eα(y) ⊆ Eα(x) , òî y ∈ Eα(x) . Ñëåäîâàòåëüíî, x è
y âõîäÿò â îáùèé ïðåäêëàññ, à çíà÷èò x ' y .                                             ¤

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.13 ïðîâåä¼ì ñ ïîìîùüþ òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè.
   1◦ . Áàçèñ èíäóêöèè. Âîçüì¼ì E1 = {x}.  ñèëó ðåôëåêñèâíîñòè ' , E1 åñòü ïðåä-
êëàññ. Åñëè íåò y 6= x òàêèõ, ÷òî x 6= y , òî E1 åñòü êëàññ òîëåðàíòíîñòè. Åñëè æå òàêîé
y ñóùåñòâóåò, òî âûïîëíÿåì øàã èíäóêöèè.
   2◦ . Øàã èíäóêöèè. Åñëè α íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì ýëåìåíòîì C , òî, ïîñêîëüêó Eα−1
îïðåäåëåíî, ïîëó÷àåì, ÷òî ëèáî Eα−1 óæå åñòü êëàññ, ëèáî ñóùåñòâóåò y ∈ Eα−1 , òîëå-
ðàíòíûé êî âñåì x ∈ Eα−1 è òîãäà ïîëàãàåì Eα = Eα−1 ∪ {y}.
   Åñëè α  ïðåäåëüíûé
                 S         ýëåìåíò C , òî, ïîñêîëüêó Eβ îïðåäåëåíû ïðè âñåõ β < α,
ïîëàãàåì Eα = β<α Eβ . Ñîãëàñíî ëåììå 3.1 Eα åñòü ïðåäêëàññ.
                                                                  S
   Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü K =             Eα , ãäå îáúåäèíåíèå
áåð¼òñÿ ïî âñåì òðàíñôèíèòàì α, äëÿ êîòîðûõ Eα îïðåäåëåíî. Î÷åâèäíî, K åñòü ìàê-
ñèìàëüíûé ïðåäêëàññ, ñîäåðæàùèé ýëåìåíò x.                                              ¤

   Èç ýòîãî äîêàçàòåëüñòâà âûâîäÿòñÿ äâå ëåììû.
Ëåììà 3.2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü x ' y , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñóùåñòâî-
âàíèå êëàññà òîëåðàíòíîñòè K , îäíîâðåìåííî ñîäåðæàùåãî x è y .

Страницы