Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a b
inf {a, b} sup {a, b}
h R, 6 i h N, | i h P(A), ⊆ i
max ∪ min ∩
sup {a, b} inf {c, d}
ι ι
a c
d
b
c
d
a
b
o o
B H
a b
a b a
1
, . . . , a
k
a @ a
1
@ . . . @ a
k
@ b
H
0
H H
0
H
B
4.1. Ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è ðåø¼òêè                                   73


Ãëàâà 4
Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè
   ¾Êðàñîòà òåîðèè ðåøåòîê îò÷àñòè îáúÿñíÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíîé ïðîñòîòîé å¼ îñíîâ-
íûõ ïîíÿòèé: óïîðÿäî÷åíèÿ, òî÷íîé âåðõíåé è òî÷íîé íèæíåé ãðàíåé.  ýòîì îòíîøåíèè
îíà î÷åíü íàïîìèíàåò òåîðèþ ãðóïï. Òåîðåòèêî-ðåøåòî÷íûìè ïîíÿòèÿìè ïðîíèçàíà âñÿ
ñîâðåìåííàÿ àëãåáðà, õîòÿ âî ìíîãèõ ó÷åáíèêàõ ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ÿâíûì îáðàçîì íå
îòìå÷àåòñÿ.¿ [2].


4.1 Ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è ðåø¼òêè
Îïðåäåëåíèå 4.1. ×.ó. ìíîæåñòâî, â êîòîðîì äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ a è b ñóùåñòâóþò
inf {a, b} è sup {a, b} íàçûâàþò ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííûì (ð.ó.) èëè áèíàïðàâëåííûì.

   ßñíî, ÷òî â ð.ó. ìíîæåñòâå òî÷íûå âåðõíèå è íèæíèå ãðàíè ñóùåñòâóþò äëÿ ëþáîãî
êîíå÷íîãî ïîäìíîæåñòâà ýëåìåíòîâ.
Ïðèìåð 4.1.    1. Ìîäåëè, èçîáðàæ¼ííûå íà ðèñ. 3.1 (ñì. c. 49) ñóòü ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî-
     ÷åííûå ìíîæåñòâà.
  2. Ëþáàÿ öåïü ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åíà. Ìîäåëè h R, 6 i, h N, | i è h P(A), ⊆ i ñóòü
     ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Ñóïðåìóìû ïàðû ýëåìåíòîâ çäåñü äîñòàâ-
     ëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè max, ÍÎÊ è ∪, à èíôèíóìû  ôóíêöèÿìè min, ÍÎÄ è ∩
     ñîîòâåòñòâåííî.
  3. Íà ðèñ. 4.1 ïðåäñòàâëåíû äâà ÷.ó. ìíîæåñòâà, ïðè÷åì ëèøü ïåðâîå èç íèõ ÿâëÿåòñÿ
     ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííûì, ò.ê. âî âòîðîì íå ñóùåñòâóþò sup {a, b} è inf {c, d}.


                         ι   [[                          
                                                           ι [
                                                               [[
                               [[                      
                                 [[                  
                         [
                         a
                       [[
                                                   c
                                                               A Ad
                           [
                                    [[
                                                        A AAA
                b [                                a[
                                                     AA
                    [[  AAAA
                                c      d                           b
                                                       [[        
                         AAA
                               A                         [ 
                       o                                   o


                        Ðèñ. 4.1: 6-ýëåìåíòíûå ÷.ó. ìíîæåñòâà

     ×åòûð¼õýëåìåíòíîå ÷.ó. ìíîæåñòâî ñ äèàãðàììîé, èçîáðàæ¼ííîé íà ðèñ. 4.2.2 îáîçíà-
÷èì B (áàáî÷êà). Ïóñòü â íåêîòîðîì ÷.ó. ìíîæåñòâå ñ äèàãðàììîé H çà ýëåìåíòîì
a íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ýëåìåíò b. Ìîäèôèöèðóåì äàííîå ìíîæåñòâî, äîáàâèâ ìåæ-
äó ýëåìåíòàìè a è b öåïü èç íîâûõ ñëåäóþùèõ äðóã çà äðóãîì ýëåìåíòîâ a1 , . . . , ak ,
òàê ÷òî a @ a1 @ . . . @ ak @ b. Ïîëó÷åííîå ÷.ó. ìíîæåñòâî áóäåò èìåòü äèàãðàììó
H 0 . Äèàãðàììû Õàññå H è H 0 íàçûâàþò ãîìåîìîðôíûìè. Î÷åâèäíî äèàãðàììà H íå
îïðåäåëÿåò ðåø¼òêó, åñëè îíà ñîäåðæèò ïîääèàãðàììó, ãîìåîìîðôíóþ äèàãðàììå B .

Страницы