Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

◦ ◦
◦ ◦
B
L L
t u
Com Ass Id Abs
h L, t, u i t u
u ↔ t
o ι t o u ι
h E(A), ⊆ i A
o =M
A
ι = O
A
α β
{α, β}
e
α ∩ β ∈ E(A)
Sub G G xty = hx, yi
x y x u y = x ∩ y
o = E
ι = G
R R
]
N
5
M
3
L M L
]
L ⊕ M L × M
L + M L M
L + M
74                                                 Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè



                                     ◦   [[ ◦
                                         [
                                     ◦       ◦


                                Ðèñ. 4.2: Áàáî÷êà B

   Ìû ââåëè ïîíÿòèå ð.ó. ìíîæåñòâà, îòòàëêèâàÿñü îò îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà. Îäíàêî âîç-
ìîæåí äðóãîé, ýêâèâàëåíòíûé äàííîìó ïîäõîä, îïèðàþùèéñÿ íà àëãåáðàè÷åñêèå îïåðà-
öèè.
Îïðåäåëåíèå 4.2. (Àëãåáðàè÷åñêîé) ðåø¼òêîé L íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî L ñ çàäàííûìè
íà í¼ì äâóìÿ áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè: t (îáúåäèíåíèÿ ) è u (ïåðåñå÷åíèÿ ), ïîä÷èíÿþ-
ùèìèñÿ äâîéñòâåííûì ïàðàì çàêîíîâ Com, Ass, Id è Abs.
    Îòìåòèì, ÷òî ðàíüøå âìåñòî òåðìèíà ¾ðåø¼òêà¿ ÷àñòî óïîòðåáëÿëñÿ òåðìèí ñòðóê-
òóðà. Òåïåðü ïîä ñòðóêòóðîé îáû÷íî (êàê è ìû â äàííîì ïîñîáèè) ïîíèìàþò àëãåáðàè-
÷åñêóþ ñèñòåìó. Ïðè ýòîì ÷àñòî óäîáíî ñ÷èòàòü ðåø¼òêîé ïóñòîå ìíîæåñòâî.
    Ïðèâåä¼ííîå âûøå îïðåäåëåíèå óòâåðæäàåò, ÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ ðåø¼òêà åñòü AC
h L, t, u i, äâóõìåñòíûå îïåðàöèè t è u êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò óêàçàííûì çàêîíàì.
Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî çàêîíû èäåìïîòåíòíîñòè âûòåêàþò èç çàêîíîâ ïîãëîùåíèÿ,
è ïîýòîìó óêàçàííàÿ ñèñòåìà àêñèîì èçáûòî÷íà. Èñïîëüçîâàíèå èìåííî òàêîé ñèñòåìû
àêñèîì òðàäèöèîííî. Ñëåäñòâèåì å¼ äâîéñòâåííîñòè ÿâëÿåòñÿ
Ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè (äëÿ ðåø¼òîê). Ëþáîå óòâåðæäåíèå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ýëå-
ìåíòîâ, èñòèííîå â íåêîòîðîé ðåø¼òêå, îñòà¼òñÿ èñòèííûì, åñëè â í¼ì ïðîèçâåñòè
çàìåíû âñåõ ñèìâîëîâ u ↔ t.
   ßñíî, ÷òî áåñêîíå÷íàÿ ðåø¼òêà ìîæåò ñîäåðæàòü, à ìîæåò è íå ñîäåðæàòü óíèâåðñàëü-
íûå ãðàíè (à êîíå÷íàÿ ðåø¼òêà èõ îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò) è äëÿ óíèâåðñàëüíûõ ãðàíåé
o è ι ðåø¼òîê âûïîëíÿþòñÿ çàêîíû t o è u ι.
Ïðèìåð 4.2.     1. Î÷åâèäíî, ëþáàÿ áóëåâà àëãåáðà åñòü àëãåáðàè÷åñêàÿ ðåø¼òêà. Ñ äðó-
     ãîé ñòîðîíû, ëþáàÿ öåïü åñòü ðåø¼òêà, ÿâëÿÿñü áóëåâîé àëãåáðîé ëèøü ïðè ÷èñëå
     ýëåìåíòîâ, ðàâíîì 2.
  2. ×.ó. ìíîæåñòâî h E(A), ⊆ i âñåõ îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A, ðàñ-
     ñìîòðåííîå â ïðèìåðå 3.4.3, åñòü ðåø¼òêà ñ óíèâåðñàëüíûìè ãðàíÿìè o =MA è
     ι = OA . Çäåñü äëÿ ýêâèâàëåíòíîñòåé α è β â êà÷åñòâå îáúåäèíåíèÿ âûñòóïàåò
     {α, β}e , à â êà÷åñòâå ïåðåñå÷åíèÿ  îáû÷íîå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå ïåðåñå÷åíèå
     α ∩ β ∈ E(A). Ýòó ðåø¼òêó íàçûâàþò òàêæå ðåø¼òêîé âñåõ ðàçáèåíèé ìíîæåñòâà.
  3. Ìíîæåñòâî Sub G âñåõ ïîäãðóïï ãðóïïû G ñ îïåðàöèÿìè xty = hx, yi (ïîäãðóïïà
     ïîðîæäåííàÿ îáúåäèíåíèåì ïîäãðóïï x è y ) è x u y = x ∩ y (ýòî ìíîæåñòâî, êàê
     èçâåñòíî, âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé) åñòü ðåø¼òêà. Çäåñü o = E (åäèíè÷íàÿ ãðóïïà)
     è ι = G.
   Íà ðèñ. 4.3 èçîáðàæåíû âñå, çà èñêëþ÷åíèåì ëèíåéíîãî ïîðÿäêà, ðåø¼òêè ñ ïÿòüþ
ýëåìåíòàìè. Ïîñëåäíèå ïåðâûå ðåø¼òêè áóäåì íàçûâàòü, ðàêåòêîé (ââåðõ) è ðàêåò-
êîé âíèç, îáîçíà÷àÿ ñîîòâåòñòâåííî, ñîîòâåòñòâåííî, R è R] . Ïîñëåäíèå äâå ðåø¼òêè
òðàäèöèîííî íàçûâàþò ïÿòèóãîëüíèê è ðîìá è îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî N5 è M3 .
   Åñëè L è M  ðåø¼òêè, òî òàêîâûìè æå ÿâëÿþòñÿ L] , L ⊕ M è L × M . Ïðè ýòîì
L + M íèêîãäà íå áóäåò ðåø¼òêîé, åñëè òîëüêî îäíî èç ìíîæåñòâ L è M íåïóñòî.
Îäíàêî, åñëè ê L + M äîáàâèòü óíèâåðñàëüíûå ãðàíè, òî ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî ñòàíåò
ðåø¼òêîé.

Страницы