Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

h N, | i m
n m ∨ n m ∧ n
m ∨ n = sup {m, n} m ∧ n = inf {m, n}
∨ ∧
h N, ∨, ∧ i
δ mδn , m ∧ n = m δ
h N, δ i
h P, v i
x y
P
x t y , sup {x, y} , x u y , inf {x, y},
h P, t, u i
h L, t, u i x y
L
x v y , x u y = x ( x v y , x t y = y),
h L, v i
t
u P
x y P
x u (x t y) = inf {x, sup{x, y}} x v sup {x, y} = z
inf {x, z} = x
v L
x, y, z ∈ L
x v x ⇔ x u x = x
½
x v y
y v x
⇔
½
x u y = x
y u x = y
⇔ x = y
½
x v y
y v z
⇔
½
x t y = y
y t z = z
⇔ x t y t z = y t z ⇔ x v (y t z) = z .
h L, v i
x, y ∈ L v
x u (x t y) = x x v x t y y v x t y z ∈ L
½
x v z
y v z
⇔ (x t y) t z = x t (y t z) = x t z = z ⇔ (x t y) v z.
76                                                     Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


   Ðàññìîòðèì ÷.ó. ìíîæåñòâî h N, | i.  í¼ì äëÿ ëþáîé ïàðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë m è
n ñóùåñòâóþò íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå m ∨ n è íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü m ∧ n,
èç îïðåäåëåíèé êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî m ∨ n = sup {m, n} è m ∧ n = inf {m, n}. Òàêèì
îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìîå ÷.ó. ìíîæåñòâî ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
îïåðàöèè ∨ è ∧ óäîâëåòâîðÿþò çàêîíàì êîììóòàòèâíîñòè, àññîöèàòèâíîñòè, ïîãëîùå-
íèÿ è èäåìïîòåíòíîñòè, è ïîýòîìó h N, ∨, ∧ i  àëãåáðàè÷åñêàÿ ðåø¼òêà. Íàêîíåö, åñëè
â äàííîé ðåø¼òêå ââåñòè îòíîøåíèå δ ïî ïðàâèëó mδn , m ∧ n = m, òî δ îêàçûâàåòñÿ
îòíîøåíèåì ¾äåëèò¿, è, òàêèì îáðàçîì, h N, δ i  ÷.ó. ìíîæåñòâî.
   Äàííîå ðàññìîòðåíèå íàâîäèò íà ìûñëü, ÷òî àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè è ðåø¼òî÷íî
óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà òåñíî ñâÿçàíû. Ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, è äàííàÿ ñâÿçü óñòà-
íàâëèâàåòñÿ íèæåñëåäóþùåé òåîðåìîé.
Òåîðåìà 4.1 (Ýêâèâàëåíòíîñòü ð.ó. ìíîæåñòâ è ðåø¼òîê).           1. Ïóñòü h P, v i
        ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Åñëè äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x è y èç
       P ïîëîæèòü
                        x t y , sup {x, y} , x u y , inf {x, y},
       òî ñòðóêòóðà h P, t, u i áóäåò àëãåáðàè÷åñêîé ðåø¼òêîé.
     2. Ïóñòü h L, t, u i  àëãåáðàè÷åñêàÿ ðåø¼òêà. Åñëè äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x è y
        èç L ïîëîæèòü

                        xvy , xuy =x          (èëè x v y , x t y = y),                 (4.1)

       òî ñòðóêòóðà h L, v i áóäåò ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì.

Äîêàçàòåëüñòâî.

     1. Íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü àêñèîì ðåø¼òêè äëÿ ââåä¼ííûõ îïåðàöèé t
        è u â ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå P . Âûïîëíåíèå çàêîíîâ êîììóòàòèâ-
        íîñòè è àññîöèàòèâíîñòè î÷åâèäíî. Ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü çàêîíîâ ïîãëîùåíèÿ.
       Ïóñòü x è y  ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû P .

       Abs1: x u (x t y) = inf {x, sup{x, y}}; èìååì x v sup {x, y} = z è ïîýòîìó
           inf {x, z} = x.
       Abs2: Ïî äâîéñòâåííîñòè.

     2. Óäîñòîâåðèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñâîéñòâ ðåôëåêñèâíîñòè, àíòèñèììåòðè÷íîñòè è
        òðàíçèòèâíîñòè ó ââåä¼ííîãî îòíîøåíèÿ v â ðåø¼òêå L. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ýëå-
        ìåíòîâ x, y, z ∈ L èìååì

        R: x v x ⇔ x u x = x ;
           ½          ½
             xvy         xuy =x
       AS:         ⇔                    ⇔ x = y;
             yvx         yux=y
         T:       ½             ½
                      xvy           xty =y
                            ⇔                ⇔ x t y t z = y t z ⇔ x v (y t z) = z .
                      yvz           ytz =z

       Òàêèì îáðàçîì, h L, v i åñòü ÷.ó. ìíîæåñòâî. Óáåäèìñÿ, ÷òî îíî ðåø¼òî÷íî óïîðÿ-
       äî÷åíî. Äëÿ x, y ∈ L ñîãëàñíî ââåä¼ííîìó îòíîøåíèþ ïîðÿäêà v ïîëó÷àåì, ÷òî
       x u (x t y) = x ðàâíîñèëüíî x v x t y è àíàëîãè÷íî y v x t y . Åñëè z ∈ L, òî
                ½
                  xvz
                         ⇔ (x t y) t z = x t (y t z) = x t z = z ⇔ (x t y) v z.
                  yvz

Страницы