Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x y sup{x, y} = x t y
inf{x, y} = x u y h L, v i
¤
h R, 6 i h N, | i h P(A), ⊆ i
h R, max, min i h N, ∨, ∧ i
h P(A), ∪, ∩ i
[ 0, 1 ]
h P, v i
ι
A
inf A
(⇐) h P, v i
A ⊆ P inf A sup A
sup P = ι
(⇒) A ⊆ P
A
M
A
ι ∈ A
M
A
M
6= ∅ a
0
= inf A
M
A
x ∈ A x v a a ∈ A
M
x
A
M
a
0
x v a
0
x ∈ A a
0
∈ A
M
a
0
v a
a ∈ A
M
a
0
A
M
A
a
0
= sup A h P, v i ¤
4.1. Ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è ðåø¼òêè                                     77


        Ïîýòîìó òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ýëåìåíòîâ x è y ñóùåñòâóåò è sup{x, y} = x t y .
        Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî inf{x, y} = x u y . Ñëåäîâàòåëüíî, h L, v i  ðåø¼-
        òî÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî.

                                                                                      ¤

    Òåîðåìà 4.1 óñòàíàâëèâàåò âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ðåø¼òî÷íî óïî-
ðÿäî÷åííûìè ìíîæåñòâàìè è àëãåáðàè÷åñêèìè ðåø¼òêàìè: èç îäíîé ÀÑ âñåãäà ìîæíî
ïîëó÷èòü äðóãóþ. Ïîýòîìó òåðìèí ¾ðåø¼òêà¿ ïðèìåíÿþò äëÿ îáîèõ ïîíÿòèé, èìåÿ â
âèäó, ÷òî ëþáóþ ðåø¼òêó ìîæíî ïðåäñòàâèòü ëèáî êàê ÷.ó. ìíîæåñòâî, ëèáî êàê àë-
ãåáðó. Íàïðèìåð, ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà h R, 6 i, h N, | i è h P(A), ⊆ i
ïðèìåðà 4.1 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå àëãåáðàè÷åñêèõ ðåø¼òîê h R, max, min i, h N, ∨, ∧ i
è h P(A), ∪, ∩ i ñîîòâåòñòâåííî. Âîçìîæíîñòü òàêîãî ðàññìîòðåíèÿ ðåø¼òîê ïîçâîëÿåò
ââîäèòü â íèõ êàê ïîðÿäêîâûå, òàê è àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, ÷òî ïðèâîäèò ê áîãàòîé
è ìíîãîîáðàçíîé â ïðèëîæåíèÿõ òåîðèè.
    Àòîìû [ êîàòîìû ] ðåø¼òêè êàê ÷.ó. ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ íàçûâàþò àòîìàìè
[ êîàòîìàìè ] ðåø¼òêè.
    Ðåø¼òêà íàçûâàåòñÿ ïîëíîé , åñëè ëþáîå ïîäìíîæåñòâî å¼ ýëåìåíòîâ èìååò òî÷íûå
âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíè (ñð. ñ îïðåäåëåíèåì ïîëíîé áóëåâîé àëãåáðû íà ñ. 17). Íàïðè-
ìåð, îòðåçîê [ 0, 1 ] ñ îáû÷íûì ïîðÿäêîì è ïðîèçâîëüíàÿ òîòàëüíàÿ àëãåáðà ìíîæåñòâ
ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè ðåø¼òêàìè. Âñå ïîëíûå ðåø¼òêè, î÷åâèäíî, äîëæíû èìåòü óíèâåð-
ñàëüíûå ãðàíè, è ïîýòîìó, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë ñ îáû÷íûì ïîðÿäêîì
íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ðåø¼òêîé.
    ×àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 4.2. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî h P, v i ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ðåø¼ò-
êîé, åñëè è òîëüêî åñëè:
 1) îíî èìååò íàèáîëüøèé ýëåìåíò ι ;
 2) äëÿ ëþáîãî åãî íåïóñòîãî ïîäìíîæåñòâà A ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü
    inf A.

Äîêàçàòåëüñòâî. (⇐) Ïóñòü h P, v i  ïîëíàÿ ðåø¼òêà. Òîãäà êàæäîå î íåïóñòîå ïîäìíî-
æåñòâî A ⊆ P èìååò è òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü inf A , è òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü sup A.
 ÷àñòíîñòè, ñóùåñòâóåò sup P = ι.
   (⇒) Ïîêàæåì, ÷òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû êàæäîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî A ⊆ P èìååò
òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü. Ðàññìîòðèì AM  ñîâîêóïíîñòü âñåõ âåðõíèõ ãðàíåé A.
   Î÷åâèäíî, ι ∈ AM , òàê ÷òî AM 6= ∅. Ïî óñëîâèþ ñóùåñòâóåò ýëåìåíò a0 = inf AM .
Ýòîò ýëåìåíò è áóäåò òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ ïîäìíîæåñòâà A.  ñàìîì äåëå, ïóñòü
x ∈ A. Òîãäà x v a äëÿ ëþáîãî a ∈ AM . Ñëåäîâàòåëüíî, x ÿâëÿåòñÿ íèæíåé ãðàíüþ
ïîäìíîæåñòâà AM . Íî a0  ýòî íàèáîëüøàÿ èç íèæíèõ ãðàíåé ýòîãî ïîäìíîæåñòâà.
Çíà÷èò, x v a0 äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ x ∈ A, ò.å. a0 ∈ AM . Òàê êàê a0 v a äëÿ ëþáîãî
a ∈ AM , òî a0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà AM , ò.å. íàèìåíüøóþ
èç âåðõíèõ ãðàíåé ïîäìíîæåñòâà A.
   Èòàê, a0 = sup A, îòêóäà çàêëþ÷àåì, ÷òî h P, v i  ïîëíàÿ ðåø¼òêà.              ¤

   Ïî äîêàçàííîé òåîðåìå, íàïðèìåð, âñÿêîå âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ñ íàè-
áîëüøèì ýëåìåíòîì ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ðåø¼òêîé.
Ñëåäñòâèå. Êîíå÷íîå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ðåø¼òêîé, åñëè è òîëüêî
åñëè:
 1) îíî èìååò íàèáîëüøèé ýëåìåíò;

Страницы