Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x, y, u v L, t, u
x u y v x v x t y
½
x v y
u v v
⇒
½
(x t u) = (y t v)
(y u u) = (y u v)
;
x v y ⇒
½
(x t u) v (y t u)
(x u u) v (y u u)
.
h L, t, u i x t z = y t z x u z = y u z
x = y
x, y z
Dtr1 w : (x t y) u z w (x u z) t (y u z)
Dtr2 v : (x u y) t z v (x t z) u (y t z)
Mod v : x v y ⇒ x t (y u z) v y u (x t z) = (x t y) u (x t z)
Mod w : x w y ⇒ x u (y t z) w y t (x u z) = (x u y) t (x u z)
x y z
x u z v x v x t y
x u z v z
¾
⇒ x u z v (x t y) u z
y u z v y v x t y
y u z v z
¾
⇒ y u x v (x t y) u z.
(x t y) u z x u z y u z
(x u z) t (y u z) v (x t y) u z,
Dtr1 w
¤
78                                                            Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


    2) äëÿ ëþáûõ äâóõ åãî ýëåìåíòîâ ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü (ïåðåñå÷åíèå).
     ïðàêòè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ ïðîâåðêà íàëè÷èÿ òî÷íûõ íèæíèõ ãðàíåé ó ïîäìíîæåñòâ
÷.ó. ìíîæåñòâà îáû÷íî íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé, â òî âðåìÿ êàê îòûñêàíèå òî÷íûõ âåðõ-
íèõ ãðàíåé, êàê ïðàâèëî, òðåáóåò çíà÷èòåëüíûõ óñèëèé. Òåîðåìà 4.2 è ñëåäñòâèå 4.1 ÿâ-
ëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûìè êðèòåðèÿìè ðåø¼òî÷íîñòè ïîðÿäêîâ.


4.2 Îñíîâíûå ñâîéñòâà ðåø¼òîê. Ðåø¼òî÷íûå ãîìîìîðôèçìû,
    èäåàëû è ôèëüòðû
   Ëåãêî ïîêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü íèæåñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ (ôàêòè÷åñêè ìû
óæå ïîêàçûâàëè ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîîòíîøåíèé è ïîëüçîâàëèñü èìè ïðè
äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 4.1).
Óòâåðæäåíèå 4.1. Ýëåìåíòû x, y, u è v ëþáîé ðåø¼òêè L, t, u óäîâëåòâîðÿþò ñëå-
äóþùèì ñîîòíîøåíèÿì:
    1)         xuy v x v xty;
    2)                            ½               ½
                                      xvy             (x t u) = (y t v)
                                             ⇒                          ;
                                      uvv             (y u u) = (y u v)
    3)                                        ½
                                                   (x t u) v (y t u)
                                      xvy ⇒                          .
                                                   (x u u) v (y u u)

   Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî â ðåø¼òêå h L, t, u i èç x t z = y t z (è/èëè x u z = y u z ) íå
ñëåäóåò x = y .
Òåîðåìà 4.3. Ýëåìåíòû x, y è z ëþáîé ðåø¼òêè óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì íåðà-
âåíñòâàì ïîëóäèñòðèáóòèâíîñòè
         Dtr1 w : (x t y) u z w (x u z) t (y u z);
         Dtr2 v : (x u y) t z v (x t z) u (y t z)
è ïîëóìîäóëÿðíîñòè
         M od v :   x v y ⇒ x t (y u z) v y u (x t z) = (x t y) u (x t z);
         M od w :   x w y ⇒ x u (y t z) w y t (x u z) = (x u y) t (x u z).

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ x, y è z ðåø¼òêè èìååì
                                      ¾
                     xuz v x v xty
                                         ⇒ x u z v (x t y) u z
                     xuz v z
è                                              ¾
                           yuz v y v xty
                                                   ⇒ y u x v (x t y) u z.
                           yuz v z
Òàêèì îáðàçîì, (x t y) u z åñòü âåðõíÿÿ ãðàíü äëÿ x u z è y u z . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
                                  (x u z) t (y u z) v (x t y) u z,
è ñëåäîâàíèå Dtr1 w äîêàçàíî. Âòîðîå íåðàâåíñòâî ïîëóäèñòðèáóòèâíîñòè ñëåäóåò èç
òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî ïî ïðèíöèïó äâîéñòâåííîñòè.
   Íåðàâåíñòâà ïîëóìîäóëÿðíîñòè åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé íåðàâåíñòâ ïîëóäèñòðèáóòèâíî-
ñòè.                                                                            ¤

Страницы