Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
h L, t, u i ϕ(x) = x x ∈ L
Y y ∈ L y v ϕ(y)
Y 6= ∅ Y x ∈ L
x = sup Y y ∈ Y y v ϕ(y) v ϕ(x) x v ϕ(x)
ϕ(x) v ϕ(ϕ(x)) ϕ(x) ∈ Y ϕ(x) v x = sup Y
x v ϕ(x) v x ϕ(x) = x ¤
Z
3
R
R
b
R
P X
b
P
G(X) =
c
X
M
L(X) =
c
X
O
b
P X 6= ∅
Q = { L(G(X)) | X ∈ P
∗
(
b
P ) }
Q ¤
Q P
Q
P Q = comp(P )
•
a
b
c
d
e
f
g
h
P
L
0
h L, t, u i
L L
0
6 L L
0
t u
L
L L
80                                                      Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


Òåîðåìà 4.5 (Î íåïîäâèæíîé òî÷êå). Åñëè ϕ  àâòîìîðôèçì ïîëíîé ðåø¼òêè
h L, t, u i, òî ϕ(x) = x äëÿ íåêîòîðîãî x ∈ L.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Y  ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ýëåìåíòîâ y ∈ L, ÷òî y v ϕ(y). ßñíî,
÷òî Y 6= ∅, ïîñêîëüêó Y ñîäåðæèò, íàïðèìåð, íóëü ðåø¼òêè x ∈ L. Òîãäà ñóùåñòâóåò
ýëåìåíò x = sup Y è äëÿ âñÿêîãî y ∈ Y èìååì y v ϕ(y) v ϕ(x), îòêóäà x v ϕ(x).
Íî òîãäà ϕ(x) v ϕ(ϕ(x)), ÷òî âëå÷¼ò ϕ(x) ∈ Y , è çíà÷èò, ϕ(x) v x = sup Y . Òàêèì
îáðàçîì, x v ϕ(x) v x, ò.å. ϕ(x) = x.                                            ¤

   Äîêàçàííàÿ òåîðåìà íå äîïóñêàåò îáðàùåíèÿ: ÷.ó. ìíîæåñòâî Z3 íå ÿâëÿåòñÿ íå òîëü-
êî ïîëíîé ðåø¼òêîé, íî äàæå è ïðîñòî ðåø¼òêîé, îäíàêî âñå åãî àâòîìîðôèçìû, î÷åâèäíî
èìåþò íåïîäâèæíóþ òî÷êó.
   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, êàê ïîïîëíèòü ïðîèçâîëüíîå ÷.ó. ìíîæåñòâî äî (ïîë-
íîé) ðåø¼òêè.
Òåîðåìà 4.6 (Ìàêíèë). Âñÿêîå ÷.ó. ìíîæåñòâî ìîæíî âëîæèòü â ïîäõîäÿùóþ ïîë-
íóþ ðåø¼òêó ñ ñîõðàíåíèåì âñåõ òî÷íûõ ãðàíåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷.ó. ìíîæåñòâ R, åñëè îíî íå èìååò ìàêñèìàëüíîãî
è/èëè ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà, äîáàâèì èõ ê R, îáîçíà÷èâ ïîëó÷åííîå ÷.ó. ìíîæåñòâî
b.
R
   Ïóñòü äàíî ÷.ó. ìíîæåñòâî P . Äëÿ ïîäìíîæåñòâ X ÷.ó. ìíîæåñòâà Pb îáðàçóåì ìíî-
æåñòâà G(X) = X  cM è L(X) = X cO ýëåìåíòîâ Pb. ßñíî, ÷òî îíè íåïóñòû, åñëè X 6= ∅.
Îáðàçóåì ìíîæåñòâî Q = { L(G(X)) | X ∈ P ∗ (Pb) } ñ ïîðÿäêîì ïî âêëþ÷åíèþ. Íåòðóäíî
óñòàíîâèòü, ÷òî Q åñòü èñêîìàÿ ðåø¼òêà.                                           ¤

   Ïðè ïîñòðîåíèè ðåø¼òêè Q ñ óêàçàííûì ñâîéñòâîì ïî äàííîìó ÷.ó. ìíîæåñòâó P ãî-
âîðÿò, ÷òî ïîñëåäíåå ïîïîëíÿåòñÿ ñå÷åíèÿìè Ìàêíèëà , à Q ÿâëÿåòñÿ çàìûêàíèåì (Ìàê-
íèëà) ÷.ó. ìíîæåñòâà P (ñèìâîëè÷åñêè Q = comp(P ) ). Ïðèìåð çàìûêàíèÿ ïîêàçàí íà
ðèñ. 4.4 è 4.5. Íà ïîñëåäíåé äèàãðàììå óíèâåðñàëüíûå ãðàíè è ýëåìåíòû, îòìå÷åííûå
çíàêîì • ñóòü ñå÷åíèÿ Ìàêíèëà.


                    a   [[
                        hh
                                    [     '
                                          b '
                                         '  [' c [

                          [[ '''['['[' 
                             hh
                               hh
                                     hh
                                                     [[
                              
                              ' ' '     hh
                                             hh
                                                h
                            d           e
                                                    A Af
                                               AA A
                                          A AA
                                        g               h


                                  Ðèñ. 4.4: ×.ó. ìíîæåñòâî P

   Òåîðåìà 4.9 ïîêàçûâàåò, ÷òî çíàìåíèòîå ïîñòðîåíèå Ð. Äåäåêèíäîì äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë ¾ñå÷åíèÿìè¿ íà ñàìîì äåëå ïðèìåíèìî äëÿ ëþáîãî ÷.ó. ìíîæåñòâà.
Îïðåäåëåíèå 4.4. Íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî L 0 ðåø¼òêè h L, t, u i íàçûâàåòñÿ ïîäðå-
ø¼òêîé ðåø¼òêè L (ñèìâîëè÷åñêè L 0 6 L), åñëè L 0 óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ñóæåíèé
t è u.
   Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïîäìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ðåø¼òêè L ìîæåò áûòü ðåø¼ò-
êîé îòíîñèòåëüíî ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà íà L, íî íå ïîäðåø¼òêîé L.

Страницы