Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L Sub L h Sub L ⊆ i
L L
ϕ L L
0
Im ϕ 6 L
0
N
◦
h N
◦
, ∨, ∧ i 6 h N, ∨, ∧ i
N
◦
P
0
(A) A
ϕ
N
◦
A ϕ(1) = ∅
n = p
1
· . . . · p
k
, k > 1 N
◦
p
1
, . . . , p
k
ϕ(n) = {ϕ(p
1
), . . . , ϕ(p
k
)} ϕ
G Sub G
Sub G P(G)
h L, t, u i I
L
1)
½
x ∈ I
y v x
⇒ y ∈ I ; 2) x, y ∈ I ⇒ x t y ∈ I.
F L
1)
½
x ∈ F
x v y
⇒ y ∈ F ; 2) x, y ∈ F ⇒ x u y ∈ F.
t u
x ∈ I, y ∈ L ⇒ x u y ∈ I x ∈ F, y ∈ L ⇒ x t y ∈ F
I F
x y
x, y ∈ I ⇔ x t y ∈ I [ x, y ∈ F ⇔ x u y ∈ F ].
a L
J(a) = a
O
a
M
I x =
F
i∈I
i
x ∈ I I = x
O
a
A P
0
(A)
P(A)
82                                                       Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


          þòñÿ ïîäðåø¼òêàìè.
     3.   Åñëè L  ðåø¼òêà, à Sub L  ñîâîêóïíîñòü å¼ ïîäðåø¼òîê, òî h Sub L ⊆ i 
          ÷.ó. ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ.
     4.   Ëþáîå îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ðåø¼òêè åñòü å¼ ïîäðåø¼òêà. Êàæäîå ïîäìíî-
          æåñòâî ðåø¼òêè L ÿâëÿåòñÿ ïîäðåø¼òêîé, åñëè è òîëüêî åñëè L  öåïü.
     5.   Åñëè ϕ  ãîìîìîðôèçì ðåø¼òêè L â ðåø¼òêó L 0 , òî Im ϕ 6 L 0 .
     6.   Îáîçíà÷èì ÷åðåç N◦ ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñâîáîäíûõ îò êâàäðàòîâ
          (ñì. ïðèìåð 1.3.4). Òîãäà h N◦ , ∨, ∧ i 6 h N, ∨, ∧ i.
     7.   Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 4.4 óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ââåä¼ííàÿ âûøå ðåø¼òêà N◦ èçî-
          ìîðôíà ðåø¼òêå P0 (A) âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà A.
        Ïîñòðîèì áèåêöèþ ϕ ìåæäó (ñ÷¼òíûì) ìíîæåñòâîì ïðîñòûõ ÷èñåë, êîòîðûå âñå
        ñîäåðæàòñÿ â N◦ , è A. Ïîëîæèì äàëåå ϕ(1) = ∅. Äëÿ îñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ
        n = p1 · . . . · pk , k > 1 èç N◦ , ãäå p1 , . . . , pk  ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, ïî-
        ëîæèì ϕ(n) = {ϕ(p1 ), . . . , ϕ(pk )}. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ϕ åñòü èçîìîðôèçì
        óêàçàííûõ ðåø¼òîê.
     8. Åñëè G  ãðóïïà, òî ìíîæåñòâî âñåõ å¼ ïîäãðóïï Sub G ÿâëÿåòñÿ, êàê èçâåñòíî,
        ðåø¼òêîé, îäíàêî Sub G        P(G).

Îïðåäåëåíèå 4.5. Ïóñòü h L, t, u i  ðåø¼òêà. Íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî I ýëåìåíòîâ
L íàçûâàåòñÿ å¼ (ðåø¼òî÷íûì) èäåàëîì, åñëè
                    ½
                      x∈I
                 1)        ⇒ y∈I;        2) x, y ∈ I ⇒ x t y ∈ I.
                      yvx

     Íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî F ýëåìåíòîâ L íàçûâàåòñÿ å¼ ðåø¼òî÷íûì ôèëüòðîì, åñëè
                     ½
                       x∈F
                  1)         ⇒ y∈F;       2) x, y ∈ F ⇒ x u y ∈ F.
                       xvy

   Ìû âèäèì, ÷òî ðåø¼òî÷íûå èäåàëû [ ôèëüòðû ] ñóòü íåïóñòûå è óñòîé÷èâûå îòíîñè-
òåëüíî îïåðàöèé t [ u ] ïîðÿäêîâûå èäåàëû [ ôèëüòðû ] ðåø¼òîê.
   Óñëîâèÿ äëÿ ðåø¼òî÷íûõ èäåàëîâ è ôèëüòðîâ â ïðèâåä¼ííîì îïðåäåëåíèè ÷àñòî çà-
ìåíÿþò íà ýêâèâàëåíòíûå

                  x ∈ I, y ∈ L ⇒ x u y ∈ I     è   x ∈ F, y ∈ L ⇒ x t y ∈ F

ñîîòâåòñòâåííî. Íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî I [ F ] îêàçûâàåòñÿ ðåø¼òî÷íûì èäåàëîì
[ ôèëüòðîì ], åñëè è òîëüêî åñëè äëÿ ëþáûõ å¼ ýëåìåíòîâ x è y ñïðàâåäëèâà ýêâèâà-
ëåíòíîñòü
                   x, y ∈ I ⇔ x t y ∈ I   [ x, y ∈ F ⇔ x u y ∈ F ].
    Åñëè ðåø¼òêà èìååò íàèìåíüøèé [ íàèáîëüøèé ] ýëåìåíò, òî îí áóäåò å¼ èäåàëîì
[ ôèëüòðîì ]. Ïóñòü a  ýëåìåíò ðåø¼òêè L, òîãäà å¼ ãëàâíûå ïîðÿäêîâûå èäåàë
J(a) = aO è ôèëüòð aM ÿâëÿþòñÿ, î÷åâèäíî, òàêæå è (ãëàâíûìè ) ðåø¼òî÷íûìè èäåàëîì
è ôèëüòðîì. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â êîíå÷íîé ðåø¼òêå âñå èäåàëû è ôèëüòðû  ãëàâíûå.
                                                                            F
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè I  èäåàë êîíå÷íîé ðåø¼òêè, òî ðàññìîòðèì ýëåìåíò x = i∈I i,
äëÿ êîòîðîãî áóäåì èìåòü x ∈ I è I = xO (àíàëîãè÷íî äëÿ ôèëüòðîâ). Äëÿ áåñêîíå÷-
íûõ ðåø¼òîê ïîñòðîèòü ýëåìåíò a, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî âûøå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿ.
Ïîýòîìó ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è íåãëàâíûå ðåø¼òî÷íûå èäåàëû è ôèëüòðû.
Ïðèìåð 4.4. 1. Åñëè A  áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ñîâîêóïíîñòü P0 (A) âñåõ åãî
    êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ áóäåò íåãëàâíûì èäåàëîì ðåø¼òêè P(A).

Страницы