Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ι
b
c
d
a
hbi
e
o
hbi
(x u y)
O
= x
O
∩ y
O
z ∈ (x u y)
O
⇔ z v (x u y) ⇔
½
z v x
z v y
⇔
½
z ∈ x
O
z ∈ y
O
⇔ z ∈ (x
O
∩ y
O
).
ϕ(x u y) = (x u y)
O
= x
O
∩ y
O
= ϕ(x) ∩ ϕ(y).
¤
A
A
A
ϕ(o) = o
O
= {o}
o
z ∈ ϕ(x) ∪ ϕ(y) = x
O
∪ y
O
⇔
·
z ∈ x
O
z ∈ y
O
⇔
·
z v x
z v y
⇒
⇒ z v x t y ⇔ z ∈ (x t y)
O
= ϕ(x t y).
ϕ(x)∪ϕ(y) ⊆ ϕ(xty)
x y
84                                                              Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè



                                                   [    ι

                                                   [[
                                            
                                         b [     c      d

                                       [[           
                                                  
                                   a[   hbi      e
                                      [[ 
                                            
                                            o


                        Ðèñ. 4.7: Ðåø¼òêà ñ íåÿäåðíûì èäåàëîì hbi


     Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî (x u y)O = xO ∩ y O . Äåéñòâèòåëüíî,
                                            ½                   ½
                   O                            zvx                 z ∈ xO
        z ∈ (x u y)    ⇔ z v (x u y) ⇔                      ⇔                ⇔ z ∈ (xO ∩ y O ).
                                                zvy                 z ∈ yO

Ïîýòîìó
                       ϕ(x u y) = (x u y)O = xO ∩ y O = ϕ(x) ∩ ϕ(y).
                                                                                                  ¤

   Äàííàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâëÿòü ýëåìåíòû ëþáîé ðåø¼òêè ïîäìíîæåñòâàìè
íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà A, ïîëüçóÿñü àíàëîãàìè äèàãðàìì Ýéëåðà-Âåííà. Â òàêèõ äèà-
ãðàììàõ ðåçóëüòàò îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ îòîæäåñòâëÿþò ñ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûì
ïåðåñå÷åíèåì â A, íàèáîëüøåìó ýëåìåíòó ðåø¼òêè (åñëè îí ñóùåñòâóåò) ñîîòâåòñòâóåò
ñàìî ìíîæåñòâî A, à íàèìåíüøåìó (åñëè îí åñòü) äîãîâàðèâàþòñÿ ñîïîñòàâëÿòü ïóñòîå
ìíîæåñòâî (õîòÿ ïî òåîðåìå 4.8 î ïðåäñòàâëåíèè ðåø¼òîê èìååì ϕ(o) = oO = {o}, íî
òî÷êà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ o, ñîäåðæèòñÿ âî âñåõ èäåàëàõ ðåø¼òêè, è å¼ ìîæíî óäàëèòü áåç
íàðóøåíèÿ îòíîøåíèÿ âêëþ÷åíèÿ èäåàëîâ).
   Âûÿñíèì, êàê ñëåäóåò îáîçíà÷àòü ðåçóëüòàò îáúåäèíåíèÿ (òî÷íûå âåðõíèå ãðàíè) íà
òàêèõ äèàãðàììàõ. Èìååì
                                   ·                ·
                       O   O           z ∈ xO           zvx
 z ∈ ϕ(x) ∪ ϕ(y) = x ∪ y       ⇔                ⇔                   ⇒
                                       z ∈ yO           zvy
                                                    ⇒ z v x t y ⇔ z ∈ (x t y)O = ϕ(x t y).

Òàêèì îáðàçîì, ϕ(x)∪ϕ(y) ⊆ ϕ(xty), ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî â ýòîì âûðàæåíèè, êàê íåòðóäíî
âèäåòü, áóäåò ëèøü â ñëó÷àå ñðàâíèìîñòè x è y . Ïîýòîìó ïðè îáîçíà÷åíèè îáúåäèíåíèÿ
ýëåìåíòîâ, èçîáðàæàåìûõ â âèäå ñâÿçíûõ âûïóêëûõ îáëàñòåé, íåîáõîäèìî ðèñîâàòü âû-
ïóêëóþ îáëàñòü, ïîêðûâàþùóþ ñ çàïàñîì îáëàñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå äàííûì ýëåìåíòàì
(ñì. ðèñ. 4.8).

Òåîðåìà 4.9 (Ìàêíèë). Âñÿêóþ ðåø¼òêó ìîæíî âëîæèòü â ïîäõîäÿùóþ ïîëíóþ ðå-
ø¼òêó ñ ñîõðàíåíèåì âñåõ òî÷íûõ ãðàíåé.

     Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ñïåöèàëüíûå òèïû ðåø¼òîê, ïðåäñòàâëÿþùèå îñîáûé èíòåðåñ.

Страницы