Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ÁÀ
¿
x
&%
'$
y
'
&
$
%
x t y
ι
h L, t, u i
x, y, z ∈ L
Mod : x v y ⇒ x t (y u z) = y u (x t z)
Mod v
x w y ⇒ x u (y t z) = y t (x u z)
h N, | i
NSub G G
X, Y, Z
G X ⊆ Y X ∪ Z
X Z G XZ , { g ∈ G |
∃
X
x
∃
Z
z ( g = xz ) }
Y ∩ XZ ⊆ X(Z ∩ Y ) X ⊆ Y
x ∈ X z ∈ Z
t ∈ Y ∩ XZ ⇒
½
t ∈ Y
t = xz
z=x
−1
t ∈ Y
⇒
½
z ∈ Y ∩ Z
t = xz
⇒ t ∈ X(Z ∩ Y ) .
NSub G
M = {1, 2, 3, 4} E(M)
α β γ D
α
= {{1}, {2}, {3, 4}}
D
β
= {{1}, {2, 3}, {4}} D
γ
= {{1, 2}, {3, 4}}
o ι
N
5
α v γ
α t (γ u β) = α t o = α 6= γ u (α t β) = γ u ι = γ.
4.3. Ìîäóëÿðíûå ðåø¼òêè                                                           85


                                    '  $
                                     '$
                                    ¿
                                        x          y
                                    ÁÀ
                                    x t y&%
                                    &     %
                                                       ι

                 Ðèñ. 4.8: Îáîçíà÷åíèå îáúåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ ðåø¼òêè

4.3 Ìîäóëÿðíûå ðåø¼òêè
Îïðåäåëåíèå 4.6. Ðåø¼òêà h L, t, u i íàçûâàåòñÿ ìîäóëÿðíîé, åñëè äëÿ ëþáûõ
x, y, z ∈ L â íåé âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèé ìîäóëÿðíûé çàêîí

    M od :   x v y ⇒ x t (y u z) = y u (x t z) .
   ßñíî, ÷òî ñìûñë ìîäóëÿðíîãî çàêîíà ñîñòîèò â âûïîëíåíèè ñëåäîâàíèÿ, îáðàòíîãî
óòâåðæäàåìîìó â M od v. Äâîéñòâåííûé ê ìîäóëÿðíîìó çàêîí
                           x w y ⇒ x u (y t z) = y t (x u z)
åìó ýêâèâàëåíòåí. Ïîýòîìó äëÿ ìîäóëÿðíûõ ðåø¼òîê ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè îñòàåòñÿ
ñïðàâåäëèâûì.
Ïðèìåð 4.5.   1. Ìîäóëÿðíûìè ÿâëÿþòñÿ âñå öåïè, ðåø¼òêà h N, | i, áóëåâû àëãåáðû è
     èõ ïîäðåø¼òêè. Âïîñëåäñòâèè ìû óâèäèì, ÷òî äëÿ ýòèõ ðåø¼òîê ñïðàâåäëèâî áîëåå
     ñèëüíîå óñëîâèå äèñòðèáóòèâíîñòè.
  2. Ðåø¼òêà NSub G âñåõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï ãðóïïû G îáðàçóåò ìîäóëÿðíóþ
     ðåø¼òêó. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü X, Y, Z  ïðîèçâîëüíûå íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû
     ãðóïïû G è X ⊆ Y . Èçâåñòíî, ÷òî îáúåäèíåíèå X ∪ Z äâóõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï
     X è Z ãðóïïû G ñîâïàäàåò ñ èõ ïðîèçâåäåíèåì XZ , { g ∈ G | ∃ x ∃ z ( g = xz ) },
                                                                         X   Z
     à ïåðåñå÷åíèå ïîäãðóïï âñåãäà åñòü ïîäãðóïïà. Ïîýòîìó íàì íóæíî ïîêàçàòü ñïðà-
     âåäëèâîñòü âêëþ÷åíèÿ Y ∩ XZ ⊆ X(Z ∩ Y ) ïðè óñëîâèè X ⊆ Y .  ñàìîì äåëå,
     âñåãäà íàéäóòñÿ òàêèå x ∈ X è z ∈ Z , ÷òî
                           ½                      ½
                              t∈Y     z=x−1 t ∈ Y   z ∈Y ∩Z
             t ∈ Y ∩ XZ ⇒                ⇒                  ⇒ t ∈ X(Z ∩ Y ) .
                              t = xz                t = xz

     Ìîäóëÿðíûå ðåø¼òêè ÷àñòî íàçûâàþò äåäåêèíäîâûìè, ïîñêîëüêó óêàçàííîå ñâîé-
     ñòâî íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï îáíàðóæèë â 1900 ã. Ð. Äåäåêèíä.
  3. Äðóãèì âàæíûì ïðèìåðîì ìîäóëÿðíîé ðåø¼òêè ÿâëÿåòñÿ ðåø¼òêà âñåõ ïîäïðî-
     ñòðàíñòâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïîä îáúåäèíåíèåì ïîäïðîñòðàíñòâ ïîíèìàåòñÿ
     íàèìåíüøåå ïîäïðîñòðàíñòâî, èõ ñîäåðæàùåå. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ïîëíî-
     ñòüþ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ìîäóëÿðíîñòè ðåø¼òêè NSub G. Òî÷íî òàê æå äî-
     êàçûâàþò, ÷òî ðåø¼òêà âñåõ èäåàëîâ ëþáîãî êîëüöà ìîäóëÿðíà.
   Ðåø¼òêà âñåõ ýêâèâàëåíòíîñòåé íà äàííîì ìíîæåñòâå â îáùåì ñëó÷àå íå ìîäó-
ëÿðíà. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M = {1, 2, 3, 4}. Ñðåäè E(M ) èìå-
þòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòè α, β è γ ñî ñìåæíûìè êëàññàìè Dα = {{1}, {2}, {3, 4}},
Dβ = {{1}, {2, 3}, {4}} è Dγ = {{1, 2}, {3, 4}} ñîîòâåòñòâåííî. Âìåñòå ñ äèàãîíàëü-
íûì îòíîøåíèåì â êà÷åñòâå o è àìîðôíîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ â êà÷åñòâå ι îíè îáðàçóþò
ðåø¼òêó N5 . Îäíàêî îíà íåìîäóëÿðíà, ïîñêîëüêó α v γ , íî
                   α t (γ u β) = α t o = α 6= γ u (α t β) = γ u ι = γ.

Страницы