Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

C = [ 0,
1
2
,
2
3
,
3
4
, . . . , 1 ] C
0
= C r{1}
I =
S
x∈ C
0
x
O
F
x∈ C
0
x
L
L
I
J
∗
(L)
o
{o}
J
∗
(L)
J
∗
(L)
L
h L, v i ι
h J
∗
(L), ⊆ i L
C = [ J
1
, J
2
, . . . ]
L J =
S
J
k
∈C
J
k
J ∈ J
∗
(L)
L
x ∈ J x ∈ J
k
∈ C k y v x
y ∈ J
k
⊆ J x, y ∈ J x ∈ J
k
∈ C y ∈ J
l
∈ C
k, l C J
k
J
l
J
∗
(L)
J
k
⊆ J
l
x, y ∈ J
l
J
l
x t y ∈ J
l
⊆ J
J L
ι 6∈ J
k
∈ C ι 6∈ J J
k
⊆ J J
k
∈ C J
C ¤
I
ϕ L 0
ϕ
]
(0) L
hbi = {o, a, b, e}
L
ϕ(x) = x
O
L P(L)
ϕ ϕ(x u y) = ϕ(x) ∩ ϕ(y)
4.2. Ðåø¼òî÷íûå ãîìîìîðôèçìû, èäåàëû è ôèëüòðû                                             83

                                1 2 3
  2. Ðàññìîòðèì
             S öåïüO C = [ 0, 2 , 3 , 4 , . . . , 1 ] è å¼ ïîäöåïü C0 = C r
                                                                          F{1}. Ýòî ðåø¼òêà,
     à I =     x∈ C0 x  å¼ íåãëàâíûé       èäåàë,     ïîñêîëüêó  ýëåìåíò   x∈ C0 x â ðåø¼òêå
     îòñóòñòâóåò (íåîïðåäåë¼í).
     Ñàìà ðåø¼òêà L âñåãäà áóäåò ñâîèì èäåàëîì è ôèëüòðîì. Âñå äðóãèå èäåàëû è ôèëü-
òðû L íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè. Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ ðåø¼òêè ñ åäèíèöåé [ íóë¼ì ] èäåàë
[ ôèëüð ] ñîáñòâåííûé, åñëè è òîëüêî åñëè îí íå ñîäåðæèò åäèíèöó è [ íóëü ]. Òàê, èäåàë
I , ïîñòðîåííûé â ï. 2 ïðèìåðà 4.4 ñîáñòâåííûé.
     Ìíîæåñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ ðåø¼òî÷íûõ èäåàëîâ îáîçíà÷èì J∗ (L). ßñíî, ÷òî ýòî
÷.ó. ìíîæåñòâî, óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ. Åñëè ðåø¼òêà ñîäåðæèò íóëü o, òî ìíî-
æåñòâî {o} ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì ðåø¼òî÷íûì èäåàëîì, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå â ÷èñëî
èäåàëîâ äîãîâàðèâàþòñÿ âêëþ÷àòü ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî. Ïîýòîìó J∗ (L) âñåãäà èìååò
íàèìåíüøèé ýëåìåíò. Ìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòû J∗ (L) íàçûâàþò ìàêñèìàëüíûìè èäåà-
ëàìè ðåø¼òêè L (ò.å. ìàêñèìàëüíûé èäåàë ðåø¼òêè íå ñîäåðæèòñÿ íè â êàêîì äðóãîì
å¼ ñîáñòâåííîì èäåàëå). Ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìàëüíûõ ðåø¼òî÷íûõ èäåàëîâ è èõ ñâÿçü ñ
äðóãèìè èäåàëàìè ðåø¼òêè îïðåäåëÿåò ñëåäóþùàÿ

Òåîðåìà 4.7 (Î ñîáñòâåííûõ èäåàëàõ ðåø¼òêè ñ åäèíèöåé). Âñÿêèé ñîáñòâåííûé
èäåàë ðåø¼òêè ñ åäèíèöåé ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì å¼ ìàêñèìàëüíîì èäåàëå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü h L, v i  ðåø¼òêà ñ åäèíèöåé ι. Ïîêàæåì, ÷òî â ÷.ó. ìíîæåñòâå
h J∗ (L), ⊆ i âñåõ ñîáñòâåííûõ ðåø¼òî÷íûõ èäåàëîâ L êàæäàÿ öåïü èìååò âåðõíþþ ãðàíü
è ñîøë¼ìñÿ çàòåì íà ëåììó Êóðàòîâñêîãî-Öîðíà1 .
     Ïóñòü C = [ J1 , J2 , . . . ]  S
                                     íåêîòîðàÿ (êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷íàÿ) öåïü ñîáñòâåííûõ
èäåàëîâ L. Îáîçíà÷èì J =               Jk ∈C Jk è óäîñòîâåðèìñÿ, ÷òî J ∈ J∗ (L), ò.å. ÿâëÿåòñÿ
ñîáñòâåííûì èäåàëîì ðåø¼òêè L.
     Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x ∈ J , òî x ∈ Jk ∈ C äëÿ íåêîòîðîãî k . Äëÿ ëþáîãî y v x
èìååì y ∈ Jk ⊆ J . Ïóñòü äàëåå x, y ∈ J . Òîãäà x ∈ Jk ∈ C è y ∈ Jl ∈ C äëÿ íåêîòîðûõ
k, l. Ïîñêîëüêó C  öåïü, òî Jk è Jl ñðàâíèìû â J∗ (L). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè
ñ÷èòàåì, ÷òî Jk ⊆ Jl . Òîãäà x, y ∈ Jl è, ïîñêîëüêó Jl  èäåàë, òî x t y ∈ Jl ⊆ J .
     Òàêèì îáðàçîì, J  èäåàë ðåø¼òêè L. Áîëåå òîãî, îí ñîáñòâåííûé, ïîñêîëüêó
ι 6∈ Jk ∈ C âëå÷¼ò ι 6∈ J . À ò.ê. Jk ⊆ J äëÿ âñåõ Jk ∈ C , òî J áóäåò âåðõíåé ãðà-
íüþ öåïè C .                                                                                 ¤

   Íàïðèìåð, èäåàë I , ïîñòðîåííûé â ï. 2 ïðèìåðà 4.4 ìàêñèìàëüíûé.
     Åñëè èìååòñÿ ãîìîìîðôèçì ϕ ðåø¼òêè L íà ðåø¼òêó ñ íóë¼ì 0, òî ïðîîáðàç íóëÿ
ϕ ] (0) ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì L. Òàêîé èäåàë íàçûâàåòñÿ ÿäåðíûì. Ðåø¼òêè ìîãóò èìåòü è
íåÿäåðíûå èäåàëû: íàïðèìåð, èäåàë hbi = {o, a, b, e} ðåø¼òêè, èçîáðàæ¼ííîé íà ðèñ. 4.7,
êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ÿäåðíûì íå ÿâëÿåòñÿ.
   Äèàãðàììû Õàññå îñòàþòñÿ óäîáíûì ñïîñîáîì îïèñàíèÿ ðåø¼òîê. Îäíàêî åñëè ðåø¼ò-
êà óñòðîåíà ñëèøêîì ñëîæíî, òàêèå äèàãðàììû ñòàíîâÿòñÿ ìàëî íàãëÿäíûìè. Äðóãèå
âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ðåø¼òîê äà¼ò ñëåäóþùàÿ

Òåîðåìà 4.8 (Î ïðåäñòàâëåíèè ðåø¼òîê). Âñÿêàÿ ðåø¼òêà ìîæåò áûòü âëîæåíà
ñ ñîõðàíåíèåì âñåõ òî÷íûõ íèæíèõ ãðàíåé â áóëåàí ïîäõîäÿùåãî ìíîæåñòâà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü L  ðåø¼òêà. Ïî òåîðåìå 3.6 (î ïðåäñòàâëåíèè ÷.ó. ìíîæåñòâ)
îòîáðàæåíèå ϕ(x) = xO îñóùåñòâëÿåò âëîæåíèå L â P(L) êàê ÷.ó. ìíîæåñòâî. Îñòàëîñü
óäîñòîâåðèòüñÿ, ÷òî ϕ ñîõðàíÿåò ïåðåñå÷åíèÿ, ò.å. ϕ(x u y) = ϕ(x) ∩ ϕ(y).
  1 Ýôôåêòèâíîå   äîêàçàòåëüñòâà äàííîãî ôàêòà íåèçâåñòíî.

Страницы