Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

h E(M), ⊆ i
N
5
N
5
(⇐)
(⇒) L
N
5
L x, y z x v y
x t (y u z) @ y u (x t z) y u z x t (y u z) y u (x t z) z x t z
L N
5
y u z @ z @ x t z y u z @ x t (y u z) @ y u (x t z) @ x t z,
@ = x v z
z v y
x t z = (x t z) t z v (x t (y u z)) t z v (y u (x t z)) t z v (x t y) t z = x t z.
x t (y u z) y u (x t z) z
x t z
y u z = (y u z) u z v (x t (y u z)) u z v (y u (x t z)) u z = y u ((x t z) u z) = y u z.
x t (y u z) y u (x t z) z
y u z ¤
a v b
[ a, b ] N
5
N
5
{o, a, b, ι, g}
h L, t, u i
x y z
x t ((x t y) u z)) = (x t y) u (x t z)
x u ((x u y) t z)) = (x u y) t (x u z).
86                                                       Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


Òàêèì îáðàçîì, ðåø¼òêà h E(M ), ⊆ i ñîäåðæèò íåìîäóëÿðíóþ ïîäðåø¼òêó, è, ñëåäîâà-
òåëüíî íåìîäóëÿðíà ñàìà.
   Íåìîäóëÿðíîñòü N5 îêàçûâàåòñÿ êëþ÷åâîé: ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 4.10 (Êðèòåðèé ìîäóëÿðíîñòè ðåø¼òêè). Ðåø¼òêà ìîäóëÿðíà, åñëè è
òîëüêî åñëè íèêàêàÿ å¼ ïîäðåø¼òêà íå èçîìîðôíà ïÿòèóãîëüíèêó N5 .

Äîêàçàòåëüñòâî. (⇐) Ïîñêîëüêó ïÿòèóãîëüíèê íå ìîäóëÿðåí, òî íèêàêàÿ ðåø¼òêà, ñîäåð-
æàùàÿ èçîìîðôíóþ åìó ïîäðåø¼òêó, íå ìîæåò áûòü ìîäóëÿðíîé.
   (⇒) Ïîêàæåì, ÷òî íåìîäóëÿðíàÿ ðåø¼òêà L ñîäåðæèò ïîäðåø¼òêó, èçîìîðôíóþ ïÿ-
òèóãîëüíèêó N5 .
   Íåìîäóëÿðíîñòü L îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ å¼ ýëåìåíòîâ x, y è z , ÷òî x v y ,
íî x t (y u z) @ y u (x t z). Ïîêàæåì, ÷òî ýëåìåíòû y u z , x t (y u z), y u (x t z), z , x t z
îáðàçóþò ïîäðåø¼òêó â L, èçîìîðôíóþ N5 .
   Â ñàìîì äåëå, äîëæíû èìåòü ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ

            yuz @ z @xtz         è    y u z @ x t (y u z) @ y u (x t z) @ x t z,

ïîñêîëüêó, çàìåíèâ ïåðâûé, âòîðîé, òðåòèé èëè ïÿòûé çíàê @ íà =, ïîëó÷èì x v z èëè
z v y , îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò ìîäóëÿðíûé çàêîí.
   Äàëåå

     x t z = (x t z) t z v (x t (y u z)) t z v (y u (x t z)) t z v (x t y) t z = x t z.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíòû x t (y u z) è y u (x t z) îáà äàþò â îáúåäèíåíèè ñ z ýëåìåíò
x t z.
   Êðîìå òîãî,

 y u z = (y u z) u z v (x t (y u z)) u z v (y u (x t z)) u z = y u ((x t z) u z) = y u z.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíòû x t (y u z) è y u (x t z) îáà äàþò â ïåðåñå÷åíèè ñ z ýëåìåíò
y u z.                                                                                ¤

   Äàííûé êðèòåðèé âëå÷åò ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ ÆîðäàíàÄåäåêèíäà äëÿ öåïåé:
åñëè â êîíå÷íîé ðåø¼òêå äâå ìàêñèìàëüíûå öåïè ìåæäó ýëåìåíòàìè a v b èìåþò ðàç-
íóþ äëèíó, òî èíòåðâàë [ a, b ] ñîäåðæèò ïîäðåø¼òêó, èçîìîðôíóþ N5 , è, ñëåäîâàòåëüíî,
äàííàÿ ðåø¼òêà íåìîäóëÿðíà.
Ïðèìåð 4.6. Ðåø¼òêà, èçîáðàæ¼ííàÿ íà ðèñ. 4.9 íåìîäóëÿðíà: äëèíû å¼ ìàêñèìàëüíûõ
öåïåé íå ñîâïàäàþò è, êàê ñëåäñòâèå, îíà ñîäåðæèò ïîäðåø¼òêó, èçîìîðôíóþ N5 (íà-
ïðèìåð, {o, a, b, ι, g}).
      çàêëþ÷åíèè ðàçäåëà ïðèâåä¼ì åù¼ äâà êðèòåðèÿ ìîäóëÿðíîñòè ðåø¼òîê.

Òåîðåìà 4.11. Ðåø¼òêà h L, t, u i ìîäóëÿðíà, åñëè è òîëüêî åñëè äëÿ ëþáûõ å¼ ýëå-
ìåíòîâ x, y è z èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå

                            x t ((x t y) u z)) = (x t y) u (x t z)

èëè ýêâèâàëåíòíîå äâîéñòâåííîå åìó

                           x u ((x u y) t z)) = (x u y) t (x u z).

Страницы