Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 68 стр.

68                                            Ãëàâà 3. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà


   Ïîêàæåì, ê ïðèìåðó, êàê àêñèîìó âûáîðà ìîæíî ïîëó÷èòü èç àêñèîìû î ïîëíîì
óïîðÿäî÷åíèè. Ïóñòü A  íåïóñòîå ìíîæåñòâî; ïî àêñèîìå î ïîëíîì óïîðÿäî÷åíèè åãî
ìîæíî ñ÷èòàòü âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì. Òîãäà â îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñî-
îòâåòñòâèå êàæäîìó íåïóñòîìó ïîäìíîæåñòâó A åãî ýëåìåíò, à èìåííî  íàèìåíüøèé.
   Îòìåòèì, ÷òî èçâåñòíû è äðóãèå óòâåðæäåíèÿ, ýêâèâàëåíòíûå ïðèâåä¼ííûì: íàïðè-
ìåð, î ðàâíîìîùíîñòè ìíîæåñòâ X è X × X èëè î íåïóñòîòå äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ
ïðîèçâîëüíîé ñîâîêóïíîñòè íåïóñòûõ ìíîæåñòâ. Äîêàçàòåëüñòâî ýêâèâàëåíòíîñòè óïî-
ìÿíóòûõ óòâåðæäåíèé ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [13].
   Òàêèì îáðàçîì, èñòèííûìè èëè ëîæíûìè âñå ýòè óòâåðæäåíèÿ ìîãóò áûòü òîëüêî
îäíîâðåìåííî. ×òî æå èìååò ìåñòî â äåéñòâèòåëüíîñòè? Îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ
çàâèñèò îò òîãî, êàêèìè ñâîéñòâàìè ìû íàäåëÿåì ïîíÿòèå ìíîæåñòâà. Â íàèáîëåå îáùåé
ôîðìå ïðîáëåìà âûðàæåíà â àêñèîìå âûáîðà, ïðåäëîæåííîé Ý. Öåðìåëî â 1904 ã. ïðè
ðàçðàáîòêå àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ. Äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ å¼ ñïðàâåä-
ëèâîñòü î÷åâèäíà. Îäíàêî ïðè ðàññìîòðåíèè áåñêîíå÷íûõ ñîâîêóïíîñòåé áåñêîíå÷íûõ
ìíîæåñòâ ýòà î÷åâèäíîñòü òåðÿåòñÿ. Âñå æå ïîïûòêè ñâåñòè AC ê äðóãèì ôóíäàìåíòàëü-
íûì ïðèíöèïàì îêàçàëèñü áåçóñïåøíûìè: â àêñèîìàòèêå ZF Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ òåîðèè
ìíîæåñòâ5 íå âûâîäèìû íè îòðèöàíèå àêñèîìû âûáîðà (Ê. üäåëü, 1939), íè îíà ñàìà
(Ï. Êîýí, 1963). Òàêèì îáðàçîì, AC ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìûì îò ZF óòâåðæäåíèåì, è äî-
áàâëåíèå ê ZF êàê ñàìîé ýòîé àêñèîìû, òàê è å¼ îòðèöàíèÿ ïîðîæäàåò äâå ðàâíîïðàâíûå
íåïðîòèâîðå÷èâûå àêñèîìàòèêè òåîðèè ìíîæåñòâ (åñòåñòâåííî, ïðè óñëîâèè íåïðîòèâî-
ðå÷èâîñòè ñàìîé ñèñòåìû ZF , ÷òî, êàê èçâåñòíî, ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì âîïðîñîì). Ïîýòîìó
ïðè ïðàêòè÷åñêèõ, íå ñâÿçàííûõ ñ âîïðîñàìè îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè è òåîðèè ìíîæåñòâ
èññëåäîâàíèÿõ ìîæíî êàê ïðèíÿòü àêñèîìó âûáîðà, òàê è îòêàçàòüñÿ îò íå¼. Ïîñëåäñòâèÿ
æå òàêîãî ðåøåíèÿ ñóòü ñëåäóþùèå.
   Îòêëîíåíèå àêñèîìû âûáîðà îáåäíÿåò ñîäåðæàíèå êîíêðåòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåî-
ðèé. Íàïðèìåð, áåç ïðèâëå÷åíèÿ ÀÑ, êðîìå óïîìÿíóòûõ ïîëåçíûõ óñëîâèé ñóùåñòâîâà-
íèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ýëåìåíòîâ ÷.ó. ìíîæåñòâ, íå óäàåòñÿ äîêàçàòü íè íàëè÷èå áàçèñà ó
ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà, íè ýêâèâàëåíòíîñòè äâóõ îïðåäåëåíèé íåïðå-
ðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå (íà ÿçûêå εδ è ÷åðåç ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé), íè
íåêîòîðûõ äðóãèõ âàæíûõ è ïðèâû÷íûõ ñâîéñòâ ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ.
   Ïðèíÿòèå àêñèîìû âûáîðà èìååò ñâîè îòðèöàòåëüíûå ïîñëåäñòâèÿ â âèäå ñóùåñòâî-
âàíèÿ îáúåêòîâ ñ ïàðàäîêñàëüíûìè ñâîéñòâàìè: íåèçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà äåé-
ñòâèòåëüíûõ ÷èñåë; òàêîãî ðàçáèåíèÿ øàðà íà ÷åòûðå ÷àñòè, ÷òî èç íèõ äâèæåíèÿìè â
ïðîñòðàíñòâå îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ñîñòàâèòü äâà òàêèõ æå øàðà è äð. Îäíàêî âñå ýòè
îáúåêòû íåêîíñòðóêòèâíû è îáîñíîâûâàþòñÿ òåîðåìàìè ÷èñòîãî ñóùåñòâîâàíèÿ6 . Êðî-
ìå òîãî, çà ïðèíÿòèå àêñèîìû âûáîðà ãîâîðèò è ñëåäóþùèé, âåñüìà ñèëüíûé, àðãóìåíò.
Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, üäåëü ïîêàçàë, ÷òî ïðèñîåäèíåíèå àêñèîìû âûáîðà ê ñèñòåìå ZF
íå óâåëè÷èâàåò îïàñíîñòè âïàñòü â ïðîòèâîðå÷èå, ò.å. åñëè â ïîëó÷åííîé ñèñòåìå âñòðå-
òèëîñü ïðîòèâîðå÷èå, òî ïðè÷èíà åãî â ZF , à íå â àêñèîìå âûáîðà. Èç ðåçóëüòàòà üäåëÿ
òàêæå âûòåêàåò, ÷òî âñÿêîå ñâîéñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äîêàçûâàåìîå ñ ïîìîùüþ àê-
ñèîìû âûáîðà, ìîæåò áûòü äîêàçàíî è áåç íå¼. Â ñèëó ýòîãî, ïî êðàéíåé ìåðå â òåîðèè
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, àêñèîìó âûáîðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü êàê âñïîìîãàòåëüíîå
ñðåäñòâî, íóæíîå ëèøü äëÿ óïðîùåíèÿ äîêàçàòåëüñòâ.
   Ïîñëåäíèå ñîîáðàæåíèÿ îáû÷íî ïåðåâåøèâàþò, è ïðè êîíêðåòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèÿõ àêñèîìó âûáîðà, êàê ïðàâèëî, ïðèíèìàþò7 . Ïðè ýòîì äîêàçàòåëüñòâà, íå
     5 Ñì., íàïðèìåð, À. Ôðåíêåëü, È. Áàð-Õèëëåë. Îñíîâàíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ.  Ì.: Ìèð, 1966.
     6 Îáû÷íî èñïîëüçóåìîå âûðàæåíèå ¾÷èñòàÿ òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ¿ ÿâëÿåòñÿ íåòî÷íûì ïåðåâîäîìñ
íåìåöêîãî.
   7 Ä. Ãèëüáåðò â 1923 ã. íàçâàë àêñèîìó âûáîðà îáùèì, íåîáõîäèìûì è íåîöåíèìûì äëÿ ìàòåìàòèêè
ïðèíöèïîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, å¼ ïðèìåíåíèå âûçâàëî íåãîäîâàíèå ìíîãèõ âåäóùèõ ìàòåìàòèêîâ íà÷àëà