ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
137
постоянными коэффициентами:
).(...
01
2
2
2
1
1
1
tQxa
dt
dx
a
dt
xd
a
dt
xd
a
dt
xd
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=+++++
−
−
−
−
−
−
(53)
где Q(t) – известный входной сигнал;
dt
dx
– отклик, выходной сигнал.
Существуют три способа решения уравнения
динамики: классический, операторный, спектральный.
Классический метод решения уравнения динамики
Решением неоднородного уравнения динамики (53)
является следующее выражение:
,
0 r
xxX += (54)
где х
0
– общее решение однородного уравнения (55).
....
01
2
2
2
1
1
1
xa
dt
dx
a
dt
xd
a
dt
xd
a
dt
xd
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+++++
−
−
−
−
−
−
(55)
х
r
– частное решение уравнения (53).
Для решения однородного уравнения (55) необходима
его алгебраизация, основанная на свойстве
дифференцирования экспоненциальной функции. При х=е
rt
уравнение (55) примет следующий вид:
...)(...)(
)()(
01
2
2
2
1
1
1
+++++
++
−
−
−
−
−
−
rtrtrt
n
n
n
rt
n
n
n
rt
n
n
n
eae
dt
d
ae
dt
d
a
e
dt
d
ae
dt
d
a
(56)
Для решения уравнения (56) введём следующие
обозначения:
Rt=U,
urt
ee =
тогда
rrt
dt
d
dt
du
== )(
138
rtu
uu
urt
rere
dt
du
du
de
dt
de
r
dt
d
e
dt
d
=⋅=⋅=== )()(
rtnrt
n
ere
dt
de
=)(
rtnrt
n
ere
dt
d
1
1
)(
−
−
=
rtrt
ree
dt
d
=)(.
То есть уравнение (56) можно записать следующим
образом:
(
)
.0...
01
2
2
1
1
=+++++
−
−
−
−
rtn
n
n
n
n
n
earararara
(57)
Это равенство выполняется при условии:
(
)
.0...
01
2
2
1
1
=+++++
−
−
−
−
rtn
n
n
n
n
n
earararara (58)
Решение уравнения (58) сводится к решению
уравнения (57), т.е. к отысканию корней уравнения (57),
которое называется характеристическим. Если все корни
характеристического уравнения разные: ,
1
r ,
2
r …, ,
b
r …,
,
n
r то каждому из них соответствует решение Х
I
= l
rt
однородного уравнения (55). Общее решение однородного
уравнения в этом случае будет:
,...
21
210
tr
n
trtr
n
вввX λλ++=
где
n
ввв ...,,,
21
− произвольные постоянные.
Частное решение уравнения (53) зависит от вида
функции Q(t).
Операторный метод решения уравнения динамики.
Передаточная функция. При сложных функциях Q(t)
отыскание частного решения Х
r
уравнения (53)
превращается в проблему. В этих случаях пользуются
операторным методом решения уравнения динамики.
Идея операторного метода состоит в алгебраизации
уравнения динамики путем перехода от временных
постоянными коэффициентами: d rt d de u de u du
dnx d n −1 x d n−2 x dx
(e ) = ( r u ) = = ⋅ = e u ⋅ r = re rt
a n n + a n −1 n −1 + a n − 2 n − 2 + ... + a1 + a 0 x = Q(t ). (53) dt dt dt du dt
dt dt dt dt de n rt
где Q(t) – известный входной сигнал; (e ) = r n e rt
dt
dx
– отклик, выходной сигнал. d n −1 rt
dt (e ) = r n −1e rt
Существуют три способа решения уравнения dt
динамики: классический, операторный, спектральный. d rt
(e ) = re rt .
Классический метод решения уравнения динамики dt
Решением неоднородного уравнения динамики (53) То есть уравнение (56) можно записать следующим
является следующее выражение: образом:
X = x0 + x r , (54) ( )
a n r n + a n −1 r n −1 + a n − 2 r n − 2 + ... + a1 r + a 0 e rt = 0. (57)
где х0 – общее решение однородного уравнения (55). Это равенство выполняется при условии:
dnx d n −1 x d n−2 x
a n n + a n −1 n −1 + a n − 2 n − 2 + ... + a1
dx
+ a 0 x. (55)
( )
a n r n + a n −1 r n −1 + a n − 2 r n − 2 + ... + a1 r + a 0 e rt = 0. (58)
dt dt dt dt Решение уравнения (58) сводится к решению
хr – частное решение уравнения (53). уравнения (57), т.е. к отысканию корней уравнения (57),
Для решения однородного уравнения (55) необходима которое называется характеристическим. Если все корни
его алгебраизация, основанная на свойстве характеристического уравнения разные: r1 , r2 , …, rb , …,
дифференцирования экспоненциальной функции. При х=еrt rn , то каждому из них соответствует решение ХI = lrt
уравнение (55) примет следующий вид:
однородного уравнения (55). Общее решение однородного
dn d n −1 уравнения в этом случае будет:
a n n (e rt ) + a n −1 n −1 (e rt ) +
dt dt X 0 = в1λr1t в 2r2t + ... + в n λrnt ,
n−2
(56)
d d где в1 , в 2 , ..., в n − произвольные постоянные.
+ a n − 2 n − 2 (e rt ) + ... + a1 (e rt ) + a 0 e rt + ...
dt dt Частное решение уравнения (53) зависит от вида
Для решения уравнения (56) введём следующие функции Q(t).
обозначения: Операторный метод решения уравнения динамики.
Rt=U, e rt = e u Передаточная функция. При сложных функциях Q(t)
тогда отыскание частного решения Хr уравнения (53)
du d превращается в проблему. В этих случаях пользуются
= (rt ) = r
dt dt операторным методом решения уравнения динамики.
Идея операторного метода состоит в алгебраизации
уравнения динамики путем перехода от временных
137 138
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
