Общая теория измерений. Хамханова Д.Н. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

139
зависимостей к зависимости от комплексного параметра
ωγ
α
+=P посредством интегрального преобразования
Лапласа:
=
=
∫
∫
∞
−
∞
−
0
0
)()(
)()(
dtetQPQ
dtetXPX
pt
pt
(59)
Х(Р) и Q(Р) называются изображениями Х(t) и Q(T), а
Х(t) и Q(t) − оригиналами X(Р) и Q(Р). Сама операция (59)
представляет собой прямое преобразование Лапласа и
обозначается:
L[x(t)]=Х(Р)
L[Q(t)]=Q(Р).
Тогда уравнение динамики (53) примет вид:
()
(
)
()
()
(
)
()
)...(][
][][][
0
1
1
1
PQtXLa
tXLatXLatXLa
n
n
n
n
=+
+++
−
−
(60)
Изображение первой производной:
() () ()
∫∫
∞
−−
∞
⋅=⋅⋅=
00
']'[ tdXdttXtXL
ptpt
λλ
(61)
так как
(
)
()
.' tX
dt
tdx
=
Интегрирование по частям дает:
() () ()
).()(]'[
00
PpXOXdttXPtXtXL
ptpt
+=⋅⋅+=
−
∞∞
−
∫∫
λλ
(62)
Аналогично можно показать, что
(
)
()
()
()
−−−−=
−−=
−−−
0...)0()0()(][
.......................................................
);0(')0()(]"[
121
2
nnnnn
XXpXpPXptXL
XpXPXptXL
(63)
140
С учетом выражений (63) дифференциальное
уравнение динамики при нулевых начальных условиях
преобразуется в алгебраическое:
(
)
)()(...
01
1
1
PQPXapapapa
n
n
n
n
=++++
−
−
(64)
Отношение
01
1
1
...
1
)(
)(
)(
apapapa
PQ
PX
PW
n
n
n
n
++++
==
−
−
(65)
называются передаточной функцией.
Как дифференциальное уравнение динамики (53), так
и передаточная функция (65) характеризуют инерционные
свойства средств измерений и используются для изучения
переходного режима работы СИ.
Зная передаточную функцию W(Р) и изображение
входного воздействия на средство измерения Q(Р), можно
найти изображение отклика СИ на это входное
воздействие:
Х(Р) = W(Р)
.
Q(Р). (66)
Применив обратное преобразование Лапласа, можно
найти и сам отклик:
()
∫
∞−
∞−
⋅=
γα
γα
.)(
2
1
dpPX
ry
tX
pt
λ (67)
Обратное преобразование Лапласа обозначается:
(
)
.)]([
1
tXPXL =
−
Спектральный метод решения уравнения
динамики. Для некоторых видов входных воздействий для
алгебраизации уравнения динамики удобнее воспользов
аться не преобразованием Лапласа, а преобразованием
Фурье: 
зависимостей к зависимости от комплексного параметра
P = α + ωγ посредством интегрального преобразования                                            С учетом выражений (63) дифференциальное
Лапласа:                                                                                  уравнение динамики при нулевых начальных условиях
               ∞
                                                                                         преобразуется в алгебраическое:
      X ( P) = ∫ X (t )e − pt dt                                                               (                                 )
                                                                                                a n p n + a n −1 p n −1 + ... + a1 p + a 0 X ( P) = Q( P)   (64)
               0                 
              ∞                                    (59)                                       Отношение
      Q( P) = ∫ Q(t )e − pt dt                                                               W ( P) =
                                                                                                          X ( P)
                                                                                                                     =
                                                                                                                                            1
                                                                                                                                                            (65)
                                                                                                                                         n −1
               0                                                                                         Q( P ) a n p + a n −1 p + ... + a1 p + a 0
                                                                                                                              n


      Х(Р) и Q(Р) называются изображениями Х(t) и Q(T), а                                 называются передаточной функцией.
Х(t) и Q(t) − оригиналами X(Р) и Q(Р). Сама операция (59)                                      Как дифференциальное уравнение динамики (53), так
представляет собой прямое преобразование Лапласа и                                        и передаточная функция (65) характеризуют инерционные
обозначается:                                                                             свойства средств измерений и используются для изучения
       L[x(t)]=Х(Р)                                                                       переходного режима работы СИ.
       L[Q(t)]=Q(Р).                                                                           Зная передаточную функцию W(Р) и изображение
       Тогда уравнение динамики (53) примет вид:                                          входного воздействия на средство измерения Q(Р), можно
       a n L[ X (n ) (t )] + a n −1 L[ X (n −1) (t )] + a1 L[ X (t )] +                   найти изображение отклика СИ на это входное
                                                                               (60)       воздействие:
       + a 0 L[ X (t )] = Q( P )...                                                            Х(Р) = W(Р) . Q(Р).                                        (66)
       Изображение первой производной:                                                         Применив обратное преобразование Лапласа, можно
                      ∞                            ∞                                      найти и сам отклик:
       L[ X ' (t )] = ∫ X ' (t ) ⋅ λ − pt
                                            ⋅ dt = ∫ λ− pt ⋅ dX (t )           (61)                              α −γ∞
                                                                                                          1
                      0                            0                                           X (t ) =        ⋅ ∫ X ( P)λ pt dp.                           (67)
               dx(t )                                                                                    2ry α −γ∞
       так как        = X ' (t ).
                dt                                                                             Обратное преобразование Лапласа обозначается:
       Интегрирование по частям дает:                                                          L−1 [ X ( P)] = X (t ).
                          ∞      ∞
                                                                                               Спектральный            метод решения   уравнения
L[ X ' (t )] = X (t )λ− pt ∫ +P ∫ X (t ) ⋅ λ− pt ⋅ dt = X (O) + pX ( P). (62)             динамики. Для некоторых видов входных воздействий для
                          0      0
                                                                                          алгебраизации уравнения динамики удобнее воспользов
       Аналогично можно показать, что                                                     аться не преобразованием Лапласа, а преобразованием
                                                                                          Фурье:
              L[ X " (t )] = p 2 X ( P) − pX (0) − X ' (0);                      
                                                                                 
             .......................................................              (63)
L[ X (t )] = p X ( P) − p X (0) − p X (0) − ... − X
    n          n                n −1               n−2               ( n −1)
                                                                             (0)
                                                                                 139      140

Страницы