ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
139
зависимостей к зависимости от комплексного параметра
ωγ
α
+=P посредством интегрального преобразования
Лапласа:
=
=
∫
∫
∞
−
∞
−
0
0
)()(
)()(
dtetQPQ
dtetXPX
pt
pt
(59)
Х(Р) и Q(Р) называются изображениями Х(t) и Q(T), а
Х(t) и Q(t) − оригиналами X(Р) и Q(Р). Сама операция (59)
представляет собой прямое преобразование Лапласа и
обозначается:
L[x(t)]=Х(Р)
L[Q(t)]=Q(Р).
Тогда уравнение динамики (53) примет вид:
()
(
)
()
()
(
)
()
)...(][
][][][
0
1
1
1
PQtXLa
tXLatXLatXLa
n
n
n
n
=+
+++
−
−
(60)
Изображение первой производной:
() () ()
∫∫
∞
−−
∞
⋅=⋅⋅=
00
']'[ tdXdttXtXL
ptpt
λλ
(61)
так как
(
)
()
.' tX
dt
tdx
=
Интегрирование по частям дает:
() () ()
).()(]'[
00
PpXOXdttXPtXtXL
ptpt
+=⋅⋅+=
−
∞∞
−
∫∫
λλ
(62)
Аналогично можно показать, что
(
)
()
()
()
−−−−=
−−=
−−−
0...)0()0()(][
.......................................................
);0(')0()(]"[
121
2
nnnnn
XXpXpPXptXL
XpXPXptXL
(63)
140
С учетом выражений (63) дифференциальное
уравнение динамики при нулевых начальных условиях
преобразуется в алгебраическое:
(
)
)()(...
01
1
1
PQPXapapapa
n
n
n
n
=++++
−
−
(64)
Отношение
01
1
1
...
1
)(
)(
)(
apapapa
PQ
PX
PW
n
n
n
n
++++
==
−
−
(65)
называются передаточной функцией.
Как дифференциальное уравнение динамики (53), так
и передаточная функция (65) характеризуют инерционные
свойства средств измерений и используются для изучения
переходного режима работы СИ.
Зная передаточную функцию W(Р) и изображение
входного воздействия на средство измерения Q(Р), можно
найти изображение отклика СИ на это входное
воздействие:
Х(Р) = W(Р)
.
Q(Р). (66)
Применив обратное преобразование Лапласа, можно
найти и сам отклик:
()
∫
∞−
∞−
⋅=
γα
γα
.)(
2
1
dpPX
ry
tX
pt
λ (67)
Обратное преобразование Лапласа обозначается:
(
)
.)]([
1
tXPXL =
−
Спектральный метод решения уравнения
динамики. Для некоторых видов входных воздействий для
алгебраизации уравнения динамики удобнее воспользов
аться не преобразованием Лапласа, а преобразованием
Фурье:
зависимостей к зависимости от комплексного параметра P = α + ωγ посредством интегрального преобразования С учетом выражений (63) дифференциальное Лапласа: уравнение динамики при нулевых начальных условиях ∞ преобразуется в алгебраическое: X ( P) = ∫ X (t )e − pt dt ( ) a n p n + a n −1 p n −1 + ... + a1 p + a 0 X ( P) = Q( P) (64) 0 ∞ (59) Отношение Q( P) = ∫ Q(t )e − pt dt W ( P) = X ( P) = 1 (65) n −1 0 Q( P ) a n p + a n −1 p + ... + a1 p + a 0 n Х(Р) и Q(Р) называются изображениями Х(t) и Q(T), а называются передаточной функцией. Х(t) и Q(t) − оригиналами X(Р) и Q(Р). Сама операция (59) Как дифференциальное уравнение динамики (53), так представляет собой прямое преобразование Лапласа и и передаточная функция (65) характеризуют инерционные обозначается: свойства средств измерений и используются для изучения L[x(t)]=Х(Р) переходного режима работы СИ. L[Q(t)]=Q(Р). Зная передаточную функцию W(Р) и изображение Тогда уравнение динамики (53) примет вид: входного воздействия на средство измерения Q(Р), можно a n L[ X (n ) (t )] + a n −1 L[ X (n −1) (t )] + a1 L[ X (t )] + найти изображение отклика СИ на это входное (60) воздействие: + a 0 L[ X (t )] = Q( P )... Х(Р) = W(Р) . Q(Р). (66) Изображение первой производной: Применив обратное преобразование Лапласа, можно ∞ ∞ найти и сам отклик: L[ X ' (t )] = ∫ X ' (t ) ⋅ λ − pt ⋅ dt = ∫ λ− pt ⋅ dX (t ) (61) α −γ∞ 1 0 0 X (t ) = ⋅ ∫ X ( P)λ pt dp. (67) dx(t ) 2ry α −γ∞ так как = X ' (t ). dt Обратное преобразование Лапласа обозначается: Интегрирование по частям дает: L−1 [ X ( P)] = X (t ). ∞ ∞ Спектральный метод решения уравнения L[ X ' (t )] = X (t )λ− pt ∫ +P ∫ X (t ) ⋅ λ− pt ⋅ dt = X (O) + pX ( P). (62) динамики. Для некоторых видов входных воздействий для 0 0 алгебраизации уравнения динамики удобнее воспользов Аналогично можно показать, что аться не преобразованием Лапласа, а преобразованием Фурье: L[ X " (t )] = p 2 X ( P) − pX (0) − X ' (0); ....................................................... (63) L[ X (t )] = p X ( P) − p X (0) − p X (0) − ... − X n n n −1 n−2 ( n −1) (0) 139 140
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »