Введение в информатику. Хамухин А.А. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

122
4.5.1. Аппроксимация
Наиболее распространенным методом аппроксимации экспериментальных
данных является метод наименьших квадратов. Метод позволяет использовать
аппроксимирующие функции произвольного вида и относится к группе глобальных
методов.
Простейшим вариантом метода наименьших квадратов является аппроксимация
прямой линией (полиномом первой степени). Этот вариант метода наименьших
квадратов носит также название линейной регрессии.
Критерием близости в методе наименьших квадратов является требование
минимальности функционала F, являющегося суммой квадратов отклонений
аппроксимирующей функции от экспериментальных точек:
N
i
ii
xfyФ
1
2
min))((
. (4.10)
Таким образом, не требуется, чтобы аппроксимирующая функция проходила
через все заданные точки (как при интерполяции), что особенно важно при
аппроксимации данных, заведомо содержащих погрешности.
Важной особенностью метода является то, что аппроксимирующая функция
может быть произвольной. Ее вид определяется особенностями решаемой задачи,
например, физическими, если проводится аппроксимация результатов физического
эксперимента. Наиболее часто применяется аппроксимация полиномом некоторой
степени (полиномиальная регрессия) и аппроксимация комбинацией произвольных
функций.
Кроме того, часто возможно путем замены переменных свести задачу к
линейной (провести линеаризацию).
4.5.2. Аппроксимация линейной функцией
Задан ряд экспериментальных данных, состоящий из пар чисел (X
i
, Y
i
), i
=1,…,N. Где X
i
– независимая координата, заданная обычно с некоторым
(постоянным) шагом, Yi – результат измерения некоторой величины (высоты
рельефа местности, глубины верхней границы нефтяного пласта и т.п.).
Требуется по этим данным построить линейную аппроксимирующую функцию
вида
baXXf )(
, (4.11)
такую, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от
расчетных в заданных точках была минимальна.
Неизвестными параметрами в этой задаче являются коэффициенты a b
аппроксимирующей функции.
Решение
Запишем указанный в 4.10 функционал для заданной аппроксимирующей
функции:

Страницы