Введение в теорию нечетких множеств. Хаптахаева Н.Б - 25 стр.

      Опр. Если между x и y существует отношение R, то обратным к нему
называется такое отношение R-1, что xR-1y существует тогда и только тогда,
когда yRx. Если при этом A = aij , A −1 = aij - матрицы этих отношений, то

элементы этих матриц связаны соотношением aij = a ji , ∀i, j = 1, n .

      Опр.        Произведение     (композиция)   отношений      A⋅B на   декартовом
произведении X×X определяется следующим образом: C=A⋅B тогда и только
тогда, когда существует такой z ∈ X, для которого выполнены одновременно
отношения xAz и zBy. При этом элементы матриц отношений связаны
следующим образом
      cij = max min{a ik , bkj }
              k


      Основные свойства отношений:
      1. Отношение R рефлексивно, если (x,x) ∈ R или xRx для любого x∈ R.
Пример рефлексивного отношения на множестве действительных чисел –
отношение ≥ ('больше-равно').
      2. Отношение R на X×X антирефлексивно, если из того, что xRy следует
x≠y. В матрице рефлексивного отношения все диагональные элементы равны 1,
а антирефлексивного - 0.
      3. Отношение R симметрично, если из того, что xRy следует yRx.
Матрица симметричного отношения - симметричная. Отношение называется
антисимметричным, если из того, что xRy и yRx, следует x=y.
      4. Для транзитивного отношения выполняется следующее условие:
R⋅R⊆R


2.1. Нечеткие отношения.

      Введем понятия нечеткого отношения и рассмотрим его свойства.
      Опр.2.1. Нечетким отношением R на универсальном множестве U =
U1×U2 называется нечеткое подмножество декартова произведения U1×U2,
которое     характеризуется        такой   функцией   принадлежности µR(x,y),    что


                                            25