Корреляционный анализ. Харченко М.А. - 12 стр.

       При ρ = ±1 корреляционная связь представляет собой линейную
функциональную зависимость 4 , при этом все наблюдаемые значения
располагаются на прямой (рис. 3). При ρ = 0 линейная корреляционная
связь отсутствует, корреляционное поле представляет собой круг (рис. 6).
Чем ближе значение | ρ | к единице, тем с бόльшим основанием можно счи-
тать, что изучаемые величины находятся в линейной зависимости.
       Для независимых случайных величин коэффициент корреляции ра-
вен нулю. Однако равенство нулю коэффициента корреляции не всегда
означает независимость случайных величин: оно свидетельствует лишь
об отсутствии линейной корреляционной зависимости между изучаемыми
величинами, но не корреляционной зависимости вообще. Коэффициент
корреляции может быть равен нулю в случае нелинейной связи. Итак,
                                                          ⇒
независимость случайных величин                           ⇐                                   ρ=0
                                                          /
                                                          ⇒
                      ρ≠0                                 ⇐
                                                          /
                                                                     корреляционная зависимость

       Направление линейной корреляционной связи определяется зна-
ком коэффициента корреляции: для «прямой», положительной связи
ρ > 0, для «обратной», отрицательной связи ρ < 0.
       Теснота (сила) линейной связи между случайными величинами оп-
ределяется абсолютной величиной коэффициента корреляции:
•   | ρ | = 1 – величины связаны линейной функциональной зависимостью;
•   0,95 ≤ | ρ | < 1 – связь очень сильная, практически функциональная;
•   0,75 ≤ | ρ | < 0,95 – связь тесная (сильная);
•   0,5 ≤ | ρ | < 0,75 – связь средняя (умеренная);
•   0,2 ≤ | ρ | < 0,5 – связь слабая;
•   0 ≤ | ρ | < 0,2 – практически нет связи.
      Коэффициент корреляции связан с корреляционным отношением
следующим образом: 0 ≤ | ρ | ≤ η ≤ 1.
      В случае линейной связи они равны: | ρ | = η, поэтому:
      1) расхождение между коэффициентом корреляции и корреляцион-
ным отношением используется в качестве критерия линейности корреля-
ционной зависимости;
      2) в случае линейной связи коэффициент детерминации равен квад-
рату коэффициента корреляции.

      4
          Если Y = aX + b (a ≠ 0), то cov(X, Y) = cov(X, aX + b) = M[(X – M(X)) (aX + b – M(aX + b))] =
               = M[(X – M(X)) (aX + b – a·M(X) – b)] = a·M[(X – M(X)) (X – M(X))] = a·D(X);

                           σ x ⋅ σ y = D( X ) ⋅ D(aX + b) =       D ( X ) ⋅ a 2 D ( X ) = | a | ⋅D ( X ) ;
                                               cov( X , Y )     a ⋅ D( X ) ⎧ 1, a > 0
                                  ρ(X ,Y ) =                =              =⎨           .
                                                σ x ⋅σ y      | a | ⋅D( X ) ⎩− 1, a < 0
                                                       12