Теория статистического вывода. Харченко М.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
уровня значимости α и числа степеней свободы df = df
1
+ df
2
= n
1
+ n
2
– 2.
2. В случае, когда генеральные дисперсии не равны (
2
2
2
1
σσ ≠
) эм-
пирическое значение критерия Стьюдента вычисляется по приближенной
формуле :
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
xx
t
+
−
=
,
которое также сравнивается с критическими значениями распределения
Стьюдента. Число степеней свободы df в этом случае находится из уравне-
ния:
(
)
,
1
1
1
1
2
2
1
2
−
−
+
−
=
n
c
n
c
df
где .
2
2
2
1
2
1
1
2
1
n
s
n
s
ns
c
+
=
Если эмпирическое значение | t | попадает в область допустимых
значений критерия Стьюдента, т. е. если выполняется неравенство
| t | ≤ t
α
(df),
нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий не отвергается , и
по двум выборочным средним производится оценка математического ожи-
дания
,
21
2211
nn
nxnx
x
+
+
=
используемая для построения доверительных интервалов:
x
x
a
∆
±
=
,
22
)()(
инсл
xxx ∆+∆=∆ ,
где случайная компонента Δ x
сл
определяется следующим образом:
.)(
21
nn
s
dftx
сл
+
⋅=
α
∆
В случае, если значение | t | попадает в критическую область крите-
рия, принимается альтернативная гипотеза а
1
≠
а
2
.
Пример 4.1. По данным примера 3.1. требуется проверить гипотезу о равенстве
математических ожиданий познавательной активности 30 учащихся средней школы и
20 учащихся гуманитарного лицея (n
1
= 30, n
2
= 20,
1
x = 401,
2
x = 409, s
1
= 71, s
2
= 82).
Предполагается , что познавательная активность в популяции подчиняется закону нор-
мального распределения.
Решение. Нулевой гипотезой h
0
является предположение о равенстве математи -
ческих ожиданий познавательной активности учащихся школы и лицея : : а
1
= а
2
= а.
Альтернативная гипотеза h
1
состоит в том, что генеральные совокупности , из которых
взяты выборки , имеют различные математические ожидания: а
1
≠
а
2
.
Предположение о нормальном законе распределения познавательной активности
в популяции позволяет использовать критерий Стьюдента для проверки нулевой гипо-
тезы. При решении примера 3.1. было показано, что имеющиеся эмпирические данные 
                                             35

уровня з начи мости α и чи сластепеней свободы df = df 1 + df 2 = n1 + n2 – 2.
       2. В случае, когд агенеральные д исперсии не равны ( σ 12 ≠ σ 22 ) э м-
пи ри ческое з начени е кри тери я Сть ю дента вычи сляется по при бли ж енной
ф ормуле:
                                              x1 − x 2
                                    t =                  ,
                                               s12 s 22
                                                  +
                                               n1 n 2
которое такж е сравни вается с кри ти чески ми з начени ями распределени я
Сть ю дента. Ч и сло степеней свободы df вэ том случае находи тся и з уравне-
ни я:
                    1
                       =
                           c2
                               +
                                  (1 − c )2
                                             ,     где c = 2
                                                                s12 n1
                                                                       .
                   df n1 − 1 n2 − 1                            s1 s 22
                                                                   +
                                                               n1 n 2
       Е сли э мпи ри ческое з начени е | t | попадает в область допусти мых
з начени й кри тери я Сть ю дента, т. е. если выполняется неравенство
                                      | t | ≤ t α(df),
нулевая ги потез а о равенстве математи чески х ож и дани й не отвергается, и
по двум выборочным средни м прои з води тся оценка математи ческого ож и -
дани я
                                         x n + x 2 n2
                                   x= 1 1                ,
                                            n1 + n 2
и споль з уемая для построени я довери тель ных и нтервалов:
                                      a = x ± ∆x ,
                              ∆x = ( ∆x сл) 2 + ( ∆x и н ) 2 ,
гдеслучай ная компонентаΔx сл определяется следую щ и м образ ом:
                                                       s
                              ∆x сл = tα ( df ) ⋅           .
                                                    n1 + n2
       В случае, если з начени е | t | попадает в кри ти ческую область кри те-
ри я, при ни мается аль тернати вная ги потез аа1 ≠ а2 .
        П рим ер 4.1. По данным при мера 3.1. требуется провери ть ги потез у о равенстве
математи чески х ож и дани й поз наватель ной акти вности 30 учащ и хся средней школы и
20 учащ и хся гумани тарного ли цея (n1 = 30, n2 = 20, x1 = 401, x 2 = 409, s1 = 71, s2 = 82).
Предполагается, что поз наватель ная акти вность в популяци и подчи няется з акону нор-
мального распределени я.
        Р еш ени е. Н улевой ги потез ой h0 является предполож ени е о равенстве математи -
чески х ож и дани й поз наватель ной акти вности учащ и хся школы и ли цея: : а1 = а2 = а.
А ль тернати вная ги потез а h1 состои т в том, что генераль ные совокупности , и з которых
вз яты выборки , и мею траз ли чныематемати чески еож и дани я: а1 ≠ а2 .
        Предполож ени ео нормаль ном з аконераспределени я поз наватель ной акти вности
в популяци и поз воляет и споль з овать кри тери й Сть ю дента для проверки нулевой ги по-
тез ы. При решени и при мера 3.1. было показ ано, что и мею щ и еся э мпи ри чески еданные

Страницы