Теория статистического вывода. Харченко М.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

34
IV. КРИТЕРИИ СРАВНЕНИЯ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ
КРИТЕРИИ ДЛЯ ДВУХ ВЫБОРОК
§ 12. Критерий Стьюдента
Назначение. Параметрический критерий Стьюдента позволяет срав-
нить два выборочных средних значения в случае, если исследуемая харак -
теристика имеет нормальное распределение в популяции.
Ограничение:
4 нормальное распределение признака в исследуемой популяции.
Если вид распределения неизвестен или проводились порядковые
измерения, результаты могут оказаться ошибочными . В этом случае лучше
использовать непараметрические критерии: критерий знаков или критерий
Манна–Уитни .
Описание критерия. Из двух нормальных генеральных совокупно-
стей извлечены независимые выборки объемами n
1
и n
2
. По результатам
исследования подсчитаны выборочные средние значения и дисперсии:
1
x ,
2
x , и
2
1
s ,
2
2
s . Требуется сравнить средние значения.
Нулевая гипотеза h
0
заключается в равенстве математических ожи-
даний обеих генеральных совокупностей : а
1
= а
2
= а.
Альтернативная гипотеза h
1
состоит в том, что две выборки принад-
лежат генеральным совокупностям с разными математическими ожида-
ниями : a
1
≠
a
2
.
Схема вычислений. 1. В случае равенства генеральных дисперсий
22
2
2
1
σσσ == (что может быть проверено с помощью критерия Фишера)
для проверки нулевой гипотезы вычисляется случайная величина:
21
21
11
nn
s
xx
t
+⋅
−
=
,
где s — среднеквадратическое отклонение, взвешенное по числам степеней
свободы df
i
= n
i
– 1:
(
)
(
)
2
1 1
21
2
22
2
11
21
2
22
2
11
−+
−+−
=
+
⋅+⋅
=
nn
snsn
dfdf
sdfsdf
s .
Вычисленная статистика | t | сопоставляется с критическими значе -
ниями распределения Стьюдента t
α
( df), найденными в зависимости от 
                                         34




IV. К РИ Т ЕРИ И С РА В Н Е Н И Я С РЕ Д Н И Х ЗН А Ч Е Н И Й


      К РИ Т Е РИ И Д Л Я Д В У Х В Ы Б О РО К
      § 12. К ритерий С тью д ента
       Н азначени е. Параметри чески й кри тери й Сть ю дента поз воляет срав-
ни ть два выборочных средни х з начени я вслучае, если и сследуемая харак-
тери сти каи меетнормаль ноераспределени евпопуляци и .
       О гр ани чени е:
  4 норм альное распред еление при з накави сследуемой популяци и .
       Е сли ви д распределени я неи з вестен и ли проводи ли сь порядковые
и з мерени я, рез уль таты могутоказ ать ся оши бочными . В э том случаелучше
и споль з овать непараметри чески е кри тери и : кри тери й з наков и ли кри тери й
М анна– У и тни .
       О п и сани е кр и т ер и я . И з двух нормаль ных генераль ных совокупно-
стей и з влечены нез ави си мые выборки объемами n1 и n2 . По рез уль татам
и сследовани я подсчи таны выборочные средни е з начени я и ди сперси и : x1 ,
x 2 , и s12 , s 22 . Т ребуется сравни ть средни ез начени я.
        Н улевая ги потез а h0 з аклю чается в равенстве математи чески х ож и -
дани й обеи хгенераль ных совокупностей : а1 = а2 = а.
        А ль тернати вная ги потез аh1 состои т в том, что две выборки при над-
леж ат генераль ным совокупностям с раз ными математи чески ми ож и да-
ни ями : a 1 ≠ a2.
        Схема вы чи слени й. 1. В случае равенства генеральных д исперсий
σ 1 = σ 22 = σ 2 (что мож ет быть проверено с помощ ь ю кри тери я Ф и шера)
   2


для проверки нулевой ги потез ы вычи сляется случай ная вели чи на:
                                                      x1 − x 2
                                         t =                       ,
                                                        1      1
                                                   s⋅      +
                                                        n1 n2
гдеs — среднеквадрати ческоеотклонени е, вз вешенноепо чи слам степеней
свободы dfi = ni – 1:

                        s=
                            df1 ⋅ s12 + df 2 ⋅ s 22
                                                    =
                                                         (n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 22 .
                                 df1 + df 2                      n1 + n 2 − 2
        В ычи сленная стати сти ка | t | сопоставляется с кри ти чески ми з наче-
ни ями распределени я Сть ю дента t α(df), най денными в з ави си мости от

Страницы