Теория статистического вывода - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки: М(θ*) = θ.
Используемые в математической статистике оценки не всегда удовлетво-
ряют одновременно всем этим требованиям, что необходимо корректиро-
вать, вводя специальные поправки.
Статистической оценкой
вероятности события является среднее
значение относительной частоты:
∑∑
==
i
i
i
i
n
k
N
w
N
w
11
.
Здесь: N – количество экспериментов, k
i
– число появлений события в i-м
эксперименте; n – количество опытов в каждом из N экспериментов,
i
i
w
n
k
= – относительная частота появления события в i-м эксперименте.
Статистическими оценками
математического ожидания являются
выборочное среднее арифметическое
x
∑
=
=
n
i
ii
nx
n
x
1
1
и
выборочное среднее геометрическое
G
x
n
n
n
nn
n
n
i
n
iG
ni
xxxxx ⋅⋅⋅==
∏
=
…
21
21
1
.
Здесь
n – объем выборки, x
i
– измеряемые значения, n
i
– их частоты.
Среднее геометрическое значение удобнее находить путем логариф-
мирования
G
x по любому основанию a > 0 (a
≠
1):
∑∑
∏∏
==
==
⋅===
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
i
iai
n
i
n
ia
n
i
n
ia
n
n
i
n
iaGa
xn
n
x
n
x
n
xx
iii
11
1
1
1
)log(
1
log
1
log
1
loglog
.
Значение
G
x получается путем потенцирования последнего выражения
∑
⋅
=
=
n
i
iai
xn
n
G
ax
1
)log(
1
.
В случае большого объема выборки (n > 50) необходимо предвари-
тельно систематизировать эмпирические данные, представив результаты в
виде вариационного ряда
ni
xxxx
≤
≤
≤
≤
≤ ......
21
.
Далее следует произвести группировку результатов, для чего
размах варь-
ирования
изучаемой характеристики R = x
max
– x
min
необходимо разбить на
целое число
m равных интервалов, определяемое по формуле Стерджеса:
m = 1 + 3,32 lg n,
где
n – объем выборки. Выборочное среднее значение вычисляется по
формуле
∑
=
=
m
j
jj
nx
n
x
1
1
, 
равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки: М(θ*) = θ.
Используемые в математической статистике оценки не всегда удовлетво-
ряют одновременно всем этим требованиям, что необходимо корректиро-
вать, вводя специальные поправки.
      Статистической оценкой вероятности события является среднее
значение относительной частоты:
                              1          1   k
                          w = ∑ wi = ∑ i .
                              N i        N i n
Здесь: N – количество экспериментов, ki – число появлений события в i-м
эксперименте; n – количество опытов в каждом из N экспериментов,
ki
   = wi – относительная частота появления события в i-м эксперименте.
 n
      Статистическими оценками математического ожидания являются
выборочное среднее арифметическое x
                                  1 n
                               x = ∑ x i ni
                                  n i =1
и выборочное среднее геометрическое xG
                                      n
                            xG = n   ∏x
                                     i =1
                                            ni
                                            i    = n x1n1 ⋅ x2n2 ⋅ … ⋅ xnnn .

Здесь n – объем выборки, xi – измеряемые значения, ni – их частоты.
      Среднее геометрическое значение удобнее находить путем логариф-
мирования xG по любому основанию a > 0 (a ≠ 1):
                           1
                    ⎛ n      ⎞n 1        n
                                               1 n            1 n
   log a xG = log a ⎜ ∏ xini ⎟ = log a ∏ xini = ∑ log a xini = ∑ (ni ⋅ log a xi ) .
                    ⎝ i =1   ⎠  n      i =1    n i =1         n i =1
Значение xG получается путем потенцирования последнего выражения
                                                  1 n
                                                     ∑ ( ni ⋅log a xi )
                                       xG = a   . n i =1


      В случае большого объема выборки (n > 50) необходимо предвари-
тельно систематизировать эмпирические данные, представив результаты в
виде вариационного ряда
                        x1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ xi ≤ ... ≤ x n .
Далее следует произвести группировку результатов, для чего размах варь-
ирования изучаемой характеристики R = xmax – xmin необходимо разбить на
целое число m равных интервалов, определяемое по формуле Стерджеса:
                            m = 1 + 3,32 lg n,
где n – объем выборки. Выборочное среднее значение вычисляется по
формуле
                                   1 m
                              x = ∑ xjnj ,
                                    n j =1
                                                            7

Страницы