Составители:
Рубрика:
9
Напомним, что множество M точек числовой оси называется ограни-
ченным сверху (ограниченным снизу), если все числа, принадлежащие множе-
ству M, меньше или равны (больше или равны) некоторого фиксированного
числа C. Множество M называется просто ограниченным, если оно ограниче-
но и сверху и снизу.
ПРИМЕР 5. Стационарная последовательность (2) ограничена. В самом
деле, множество ее значений состоит из единственного числа а.
ПРИМЕР 6. Арифметическая прогрессия (3) ограничена снизу и неогра-
ничена сверху в случае d > 0 (действительно, добавляя к а число d достаточ-
но много раз, мы, очевидно, превысим любое заранее заданное число).
Если же d < 0, то арифметическая прогрессия неограничена снизу и ог-
раничена сверху по аналогичной причине.
Любая арифметическая прогрессия неограничена. (Любая ли? Может
быть, есть исключение?)
ПРИМЕР 7. Геометрическая прогрессия (4) ограничена, если
1
q
≤
и не
ограничена, если
1
q
>
.
В самом деле,
1n
n
xaq
−
=⋅
. Поэтому
n
xa
≤
при
1
q
≤
. Если же
1
q
>
, то
1
q
α
=+
, где
α
>
0, и тогда
1
121
(1)(2)
(1 ) 1 ( 1) ... 1 ( 1)
2
n
nn
nn
qn n
ααααα
−
−−
−−
= + =+ − + + + >+ −
по формуле бинома Ньютона. Тем самым
n
x
растет быстрее, чем некоторая
арифметическая прогрессия.
ПРИМЕР 8. Обе последовательности примера 4 ограничены. Например,
первая потому, что все ее члены не меньше 3, но, очевидно, не более 4.
Заметим, что любая конечная числовая последовательность ограничена.
Для бесконечной же последовательности свойство быть ограниченной (в том
или ином смысле) не меняется, если отбросить любое конечное число ее пер-
вых членов. Это подтверждает, что свойство ограниченности – асимптотиче-
ское свойство последовательности.
Мы подошли к самому важному определению настоящего раздела.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
