Составители:
Рубрика:
11
ПРИМЕР 9. Доказать, что
2
1
lim 0
п
n
→∞
=
.
Решение. Выберем произвольное число
0
ε
>
. Надо доказать, что нера-
венство
2
1
0
n
ε
−<
выполняется для всех натуральных n, начиная с некоторо-
го. Для этого следует просто решить это неравенство относительно п, считая
ε
заданным. Очевидно, это неравенство переписывается в виде
2
1
n
ε
<
или, еще
проще, в виде
2
1
n
ε
>
. Отсюда
1
n
ε
>
. Т.е. исходное неравенство выполняет-
ся для всех натуральных чисел, превосходящих
1\
ε
. Например, при
0,1
ε
=
должно быть
1
10 3,16...
0,1
n
>==
. Значит, начиная с номера
() ( )
0,1 4
NN
ε
==
, неравенство верно. Если же
0,01
ε
=
, то
1
100 10
0,01
n
>==
. Следовательно,
()
0,01 11
N
=
.
ПРИМЕР 10. Доказать, что
1
1
n
n
→
+
при п
→
∞
.
Решение. Аналогично предыдущему примеру имеем неравенство
1
1
n
n
ε
−<
+
. Упрощая его, получаем последовательно:
(1)
1
nn
n
ε
−+
<
+
,
1
1
n
ε
−<
+
,
1
1
n
ε
<
+
,
1
1
n
ε
+>
,
1
1
n
ε
>−
. Очевидно,
1
10
10
N
=
,
1
100
100
N
=
,
1
1000
1000
N
=
.
Рассмотрим теперь основные общие свойства предела последовательно-
сти.
Теорема 1 (о единственности предела). Последовательность может схо-
диться только к одному пределу.
Доказательство. Пусть последовательность сходится к двум разным
пределам а и
a
′
. Выберем
ε
меньше половины расстояния между ними, т.е.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
